(Espaço dos polinômios quadráticos) Na Matemática, o conjunto dos polinômios quadráticos é frequentemente estudado como espaço vetorial. Considere:
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se podemos considerar
como um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos especificar as operações de soma e multiplicação por escalar em
e verificar que todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos.
Passo 2
Definimos em
as operações naturais de polinômios: para
colocamos
e para todo escalar
:
Passo 3
Fechamento sob soma e escalar: as fórmulas acima mostram que
e
têm de novo forma
, logo permanecem em
.
O polinômio nulo é
e dado
, seu inverso aditivo é
Passo 4
As demais propriedades de espaço vetorial (comutatividade e associatividade da soma, distributividades, associatividade da multiplicação por escalar, existência de neutro e inverso) seguem diretamente das mesmas propriedades em
, aplicadas às coordenadas
.
Passo 5
Como todos os axiomas de espaço vetorial sobre
estão satisfeitos, concluímos que
é de fato um espaço vetorial. Uma base canônica é
logo
.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial sobre
, de dimensão
, com base
.