(Espaço dos polinômios quadráticos) Na Matemática, o conjunto dos polinômios quadráticos é frequentemente estudado como espaço vetorial. Considere:
Q=q(x)=a+b x+c x^2 mid a, b, c in R
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define
Q = l,q(x)=a + b,x + c,x^2mid a,b,cinRr
e pergunta se podemos considerar Q como um espaço vetorial sobre R. Para isso, precisamos especificar as operações de soma e multiplicação por escalar em Q e verificar que todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos.

Passo 2

Definimos em Q as operações naturais de polinômios: para
q1(x)=a1+b1x+c1x^2, q2(x)=a2+b2x+c2x^2,
colocamos
(q1+q2)(x) = (a1+a2) + (b1+b2),x + (c1+c2),x^2,
e para todo escalar alphainR:
(alpha,q1)(x) = alpha,a1 + (alpha,b1),x + (alpha,c1),x^2

Passo 3

Fechamento sob soma e escalar: as fórmulas acima mostram que q1+q2 e alpha,q1 têm de novo forma A + Bx + Cx^2, logo permanecem em Q.
O polinômio nulo é
0(x) = 0 + 0,x + 0,x^2in Q,
e dado q(x)=a+bx+cx^2, seu inverso aditivo é
(-q)(x) = (-a) + (-b),x + (-c),x^2in Q

Passo 4

As demais propriedades de espaço vetorial (comutatividade e associatividade da soma, distributividades, associatividade da multiplicação por escalar, existência de neutro e inverso) seguem diretamente das mesmas propriedades em R, aplicadas às coordenadas a,b,c.

Passo 5

Como todos os axiomas de espaço vetorial sobre R estão satisfeitos, concluímos que Q é de fato um espaço vetorial. Uma base canônica é
,1,;x,;x^2,
logo dim Q=3.

Resposta

Sim, Q é um espaço vetorial sobre R, de dimensão 3, com base 1,x,x^2.

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