(Funções contínuas com restrição) Em modelagens matemáticas, algumas funções precisam assumir valores fixos em determinados pontos. Considere o conjunto das funções contínuas:
G=g: R R mid g(1)=2
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define
G=,g:RtoRmid g(1)=2
e pergunta se esse conjunto, munido das operações usuais de soma e multiplicação por escalar em funções contínuas, é um espaço vetorial. Para ser um espaço vetorial (ou seja, um subespaço de C(R,R)), é preciso que em G exista o vetor zero e que G seja fechado em soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de C(R,R), isto é, a função
g0(x)=0 para todo x, pertence a G.
Como
g0(1)=0neq2,
essa função não satisfaz a condição g(1)=2. Logo, o elemento neutro não está em G.

Passo 3

Analisamos a fechamento em soma: sejam f,hin G. Então f(1)=2 e h(1)=2.
Mas
(f+h)(1)=f(1)+h(1)=2+2=4neq2,
portanto f+hnotin G. Falha o fechamento em soma.

Passo 4

Analisamos o fechamento em multiplicação por escalar: seja gin G com g(1)=2 e escalar lambda=0.
Então
(0cdot g)(1)=0cdot g(1)=0neq2,
logo 0cdot gnotin G. Falha o fechamento em multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto G não é um espaço vetorial.

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