(Funções contínuas com restrição) Em modelagens matemáticas, algumas funções precisam assumir valores fixos em determinados pontos. Considere o conjunto das funções contínuas:
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se esse conjunto, munido das operações usuais de soma e multiplicação por escalar em funções contínuas, é um espaço vetorial. Para ser um espaço vetorial (ou seja, um subespaço de ), é preciso que em
exista o vetor zero e que
seja fechado em soma e multiplicação por escalar.
e pergunta se esse conjunto, munido das operações usuais de soma e multiplicação por escalar em funções contínuas, é um espaço vetorial. Para ser um espaço vetorial (ou seja, um subespaço de
Passo 2
Verificamos se o vetor zero de
, isto é, a função
para todo
, pertence a
.
Como
,
essa função não satisfaz a condição . Logo, o elemento neutro não está em
.
Como
essa função não satisfaz a condição
Passo 3
Analisamos a fechamento em soma: sejam
. Então
e
.
Mas
Mas
portanto
. Falha o fechamento em soma.
Passo 4
Analisamos o fechamento em multiplicação por escalar: seja
com
e escalar
.
Então
Então
logo
. Falha o fechamento em multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial.