Dê condições sobre m e n para que as retas retas r e s determinem um plano:
r:l x-y=1 n x-y-2 z+m+1=0 s:l x-n z+m+n=0 x+y-2 n z+11=0

Passo 1

O problema pede condições sobre m e n para que as duas retas r e s em R^3 “determinarem um plano”, isto é, para que sejam coplanares (linhas concorrentes ou paralelas distintas definem um plano único). Para testar coplanaridade em R^3 usamos o produto misto entre os vetores diretores e o vetor que liga um ponto de r a um ponto de s: esse produto deve ser zero.

Passo 2

Escrevemos
temos , obtemos
logo
e

é um ponto em .

Passo 3

De modo análogo, de
temos
Tomamos parâmetro . Então
logo
e

é um ponto em .

Passo 4

O critério de coplanaridade é
l(vr,;vs,;Q0-P0r)=0,
once
(cdot,cdot,cdot) é o produto misto. Calculando D=Q0-P0 e fazendo o produto misto obtém-se após simplificação a condição
10-2,(m+n)+n(n-1),(m+n-5)=0
Para tornar mais claro, coloque s=m+n. A equação vira
n(n-1)(s-5)-2s+10=0 ;Long<=ftrightarrow; l[n(n-1)-2r],s=5l[n(n-1)-2r]
Dessa forma há duas situações:
1. Se n(n-1)-2neq0, então
s=m+n=5
2. Se n(n-1)-2=0, ou seja n^2-n-2=0, então n=2 ou n=-1, e aí a equação é 0cdot s=0, isto é, qualquer m serve.

Resposta

As retas são coplanares (logo determinam um plano) se, e somente se,

Exercícios relacionados