Verifique se as retas r e s são ortogonais. Em caso afirmativo, verifique também se elas são concorrentes.
r: P=(1,2,3)+lambda(1,2,1) e s: P=(2,4,4)+mu(-1,1,-1).

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço em forma ponto–direção:
rcolon P=(1,2,3)+lambda(1,2,1) e
scolon P=(2,4,4)+mu(-1,1,-1).
Precisamos usar produto escalar para checar ortogonalidade dos vetores diretores e resolver o sistema paramétrico para ver se existe solução comum (concorrência).

Passo 2

Os vetores diretores são
u=(1,2,1) e v=(-1,1,-1).
Calculamos o produto escalar
ucdotv =1cdot(-1)+2cdot1+1cdot(-1) =-1+2-1=0
Como o produto escalar é zero, as retas são ortogonais.

Passo 3

Para verificar se elas se intersectam, igualamos as paramétricas de r e s:
1+lambda = 2-mu, 2+2lambda = 4+mu, 3+lambda = 4-mu
Isso gera o sistema
lambda + mu = 1, 2lambda - mu = 2, lambda + mu = 1

Passo 4

Das duas primeiras equações:
lambda+mu=1 e 2lambda-mu=2.
Somando-as:
(lambda+mu)+(2lambda-mu)=1+2 implies 3lambda=3 implies lambda=1
Então mu=1-lambda=0. O terceiro é idêntico ao primeiro, logo o sistema é consistente.

Passo 5

Substituindo lambda=1 em r, obtemos
Pr=(1+1,,2+2cdot1,,3+1)=(2,4,4)
Com mu=0 em s também dá (2,4,4). Logo há interseção em P=(2,4,4), ou seja, as retas são concorrentes.

Resposta

As retas r e s são ortogonais e também concorrentes, pois se cruzam no ponto P=(2,4,4).

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