Dê as equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular à reta r nos casos:
P(2,6,1) e r:lx=-3+lambda y=lambda z=3 lambda;

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por P(2,6,1) e é perpendicular à reta
r: x=-3+lambda, y=lambda, z=3lambda
O conteúdo envolvido é a perpendicular de um ponto a uma reta no espaço, usando vetor diretor e produto escalar para achar o pé da perpendicular.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor de r. Como
x=-3+lambda,;y=lambda,;z=3lambda
o vetor diretor é
v=(1,,1,,3)

Passo 3

Seja Q o pé da perpendicular em r. Em função de lambda,
Q(lambda)=(-3+lambda,;lambda,;3lambda)
Então o vetor PQ vale
PQ = Q(lambda)-P = (lambda-5,;lambda-6,;3lambda-1)

Passo 4

Para que a reta PQ seja perpendicular a r, precisamos de
PQcdotv=0
Isto é,
(lambda-5)+(lambda-6)+3(3lambda-1)=0 ;;Longrightarrow;; 11lambda-14=0 ;;Longrightarrow;; lambda=tfrac1411

Passo 5

Substituindo lambda=tfrac1411 em Q(lambda),
Ql(tfrac1411r) =l(-3+tfrac1411,;tfrac1411,;tfrac4211r) =l(-tfrac1911,;tfrac1411,;tfrac4211r)
Logo
PQ =Q-P =l(-tfrac1911-2,;tfrac1411-6,;tfrac4211-1r) =l(-tfrac4111,,-tfrac5211,;tfrac3111r)
Podemos usar como vetor diretor da reta buscada
d=(-41,,-52,,31),
que é paralelo a PQ e satisfaz dcdotv=0.

Passo 6

As equações paramétricas da reta que passa por P(2,6,1) e tem direção d=(-41,-52,31) são
x=2-41t, y=6-52t, z=1+31t

Resposta

boxed x=2-41t, y=6-52t, z=1+31t

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