Em um condomínio de 600 famílias, 315 possuem carro, 240 famílias possuem TV e 182 não possuem carro nem TV.
a) Quantas possuem carro ou TV?
b) Quantas possuem carro e TV?
c) Quantas possuem carro e não possuem TV?
a) Quantas possuem carro ou TV?
b) Quantas possuem carro e TV?
c) Quantas possuem carro e não possuem TV?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados:
- Total de famílias no condomínio:
. - Famílias que possuem carro:
. - Famílias que possuem TV:
. - Famílias que não possuem nem carro nem TV:
.
As perguntas são:
a) Quantas possuem carro ou TV?
b) Quantas possuem carro e TV?
c) Quantas possuem carro e não possuem TV?
a) Quantas possuem carro ou TV?
b) Quantas possuem carro e TV?
c) Quantas possuem carro e não possuem TV?
Passo 2
Definindo conjuntos e notação (isso ajuda muito a organizar o raciocínio):
- Seja
o conjunto das famílias que possuem carro; então . - Seja
o conjunto das famílias que possuem TV; então . - O conjunto das famílias que possuem carro ou TV é
, cuja cardinalidade é . - O conjunto das famílias que não possuem nem carro nem TV é o complemento de
no universo de todas as famílias.
Explicação curta sobre complemento: se
é o total de famílias (
), então as famílias que têm pelo menos um dos dois bens são o complemento das que não têm nenhum. Logo há uma relação simples entre esses números.
Passo 3
Calcular quantas possuem carro ou TV (resposta da letra a). Usando o complemento:
Fazendo a conta:
Portanto a resposta da letra (a) é
.
Passo 4
Agora precisamos encontrar quantas possuem carro e TV (letra b). Para isso usamos a fórmula da união de dois conjuntos (princípio de inclusão-exclusão). Vou explicar por que a fórmula funciona:
Quando somamos
estamos contando duas vezes as famílias que pertencem a
(as que têm carro e TV). Para compensar isso, subtrai-se
. A fórmula é:
Passo 5
Aplicando a fórmula para isolar
:
Substituindo os números conhecidos:
Calcule passo a passo:
Logo, o número de famílias que possuem carro e TV é
.
Passo 6
Agora a letra (c): quantas possuem carro e não possuem TV. Isso é exatamente o conjunto diferença
, cujo tamanho é
Substituindo os valores que já temos:
Portanto
famílias têm carro e não têm TV.
Passo 7
Verificação rápida e útil (para confiar nas contas): podemos decompor o total em quatro partes disjuntas — carro só, TV só, ambos, nenhum — e somá-las:
- Carro e não TV:
. - TV e não carro:
. - Ambos:
. - Nenhum:
.
Somando:. Fecha certinho com o total, então os números estão consistentes.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)