Em um condomínio de 600 famílias, 315 possuem carro, 240 famílias possuem TV e 182 não possuem carro nem TV.
a) Quantas possuem carro ou TV?
b) Quantas possuem carro e TV?
c) Quantas possuem carro e não possuem TV?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • Total de famílias no condomínio: 600.
  • Famílias que possuem carro: 315.
  • Famílias que possuem TV: 240.
  • Famílias que não possuem nem carro nem TV: 182.
As perguntas são:
a) Quantas possuem carro ou TV?
b) Quantas possuem carro e TV?
c) Quantas possuem carro e não possuem TV?

Passo 2

Definindo conjuntos e notação (isso ajuda muito a organizar o raciocínio):
  • Seja C o conjunto das famílias que possuem carro; então |C|=315.
  • Seja T o conjunto das famílias que possuem TV; então |T|=240.
  • O conjunto das famílias que possuem carro ou TV é C\cup T, cuja cardinalidade é |C\cup T|.
  • O conjunto das famílias que não possuem nem carro nem TV é o complemento de C\cup T no universo de todas as famílias.
Explicação curta sobre complemento: se U é o total de famílias ( |U|=600), então as famílias que têm pelo menos um dos dois bens são o complemento das que não têm nenhum. Logo há uma relação simples entre esses números.

Passo 3

Calcular quantas possuem carro ou TV (resposta da letra a). Usando o complemento:
|C\cup T| = |U| - \text{(nenhum dos dois)} = 600 - 182.
Fazendo a conta:
|C\cup T| = 418.
Portanto a resposta da letra (a) é 418.

Passo 4

Agora precisamos encontrar quantas possuem carro e TV (letra b). Para isso usamos a fórmula da união de dois conjuntos (princípio de inclusão-exclusão). Vou explicar por que a fórmula funciona:
Quando somamos |C| + |T| estamos contando duas vezes as famílias que pertencem a C\cap T (as que têm carro e TV). Para compensar isso, subtrai-se |C\cap T|. A fórmula é:
|C\cup T| = |C| + |T| - |C\cap T|.

Passo 5

Aplicando a fórmula para isolar |C\cap T|:
|C\cap T| = |C| + |T| - |C\cup T|.
Substituindo os números conhecidos:
|C\cap T| = 315 + 240 - 418.
Calcule passo a passo:
315 + 240 = 555,
555 - 418 = 137.
Logo, o número de famílias que possuem carro e TV é 137.

Passo 6

Agora a letra (c): quantas possuem carro e não possuem TV. Isso é exatamente o conjunto diferença C\setminus T, cujo tamanho é
|C\setminus T| = |C| - |C\cap T|.
Substituindo os valores que já temos:
|C\setminus T| = 315 - 137 = 178.
Portanto 178 famílias têm carro e não têm TV.

Passo 7

Verificação rápida e útil (para confiar nas contas): podemos decompor o total em quatro partes disjuntas — carro só, TV só, ambos, nenhum — e somá-las:
  • Carro e não TV: 178.
  • TV e não carro: |T|-|C\cap T| = 240 - 137 = 103.
  • Ambos: 137.
  • Nenhum: 182.
    Somando: 178 + 103 + 137 + 182 = 600. Fecha certinho com o total, então os números estão consistentes.

Resposta

(a) 418
(b) 137
(c) 178

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