Exercício 8 - Determine as trajetórias ortogonais ás famílias de curvas dadas
y=\frac{c}{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por y=\dfrac{c}{x}, onde c é o parâmetro.
Informações fornecidas:
  • Família dada: y=\dfrac{c}{x} (para vários valores de c).
    O que se pede:
  • Encontrar a família de curvas que corta ortogonalmente cada curva da família dada em todos os pontos de interseção.

Passo 2

Entendendo o que significa “trajetórias ortogonais” (aula rápida).
Duas curvas são ortogonais num ponto de interseção se as tangentes a essas curvas nesse ponto são perpendiculares. Isso em termos de declives (inclinações) significa que, se uma curva tem inclinação m naquele ponto, a outra tem inclinação m_{\perp} que satisfaz
m\cdot m_{\perp}=-1.
Em termos de derivadas, se para a família original temos \dfrac{dy}{dx}=m(x,y), então as trajetórias ortogonais satisfazem
\dfrac{dy}{dx}=-\frac{1}{m(x,y)}.

Passo 3

Eliminar o parâmetro c da família original para obter uma relação entre x e y. Da família dada temos
y=\frac{c}{x}.
Multiplicando ambos os lados por x obtemos
c=xy.
Portanto o parâmetro c pode ser escrito como c=xy.

Passo 4

Calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da família original (isso dá o declive das curvas da família). Partindo de y=\dfrac{c}{x} e diferenciando em relação a x (considerando c constante quando diferenciamos a família),
\frac{dy}{dx}=-\frac{c}{x^{2}}.
Agora substitui-se c=xy (que obtivemos no Passo 3) para expressar a derivada em termos de x e y:
\frac{dy}{dx}=-\frac{xy}{x^{2}}=-\frac{y}{x}.
Portanto o declive da família dada é \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x}.

Passo 5

Obter a equação diferencial das trajetórias ortogonais. Pela regra do Passo 2, o declive m_{\perp} das trajetórias ortogonais é o negativo do recíproco do declive da família dada. Assim,
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{\text{ort}}=-\frac{1}{-\dfrac{y}{x}}=\frac{x}{y}.
Logo as trajetórias ortogonais satisfazem a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.

Passo 6

Resolver a equação diferencial \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y}. Esta é uma equação separável: podemos rearranjar para separar y e x:
y\,dy = x\,dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int x\,dx.
As integrais são simples polinomiais; calculando-as obtemos
\frac{1}{2}y^{2} = \frac{1}{2}x^{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Simplificar a expressão obtida no passo anterior para escrever a família de soluções de forma clássica. Multiplicando por 2 e rearranjando,
y^{2}-x^{2}=C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária (pode-se continuar escrevendo apenas C se preferir). Portanto a família de trajetórias ortogonais é dada por
y^{2}-x^{2}=C.
Observação interpretativa curta: essas curvas são hipérboles com assimptotas y=\pm x, que cortam ortogonalmente as hipérboles retangulares y=\dfrac{c}{x}.

Resposta

y^{2}-x^{2}=C

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