Encontrar as trajetórias ortogonais de todas as parábolas com vértice na origem e o foco sobre o eixo (X).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede: encontrar as trajetórias ortogonais de todas as parábolas que têm vértice na origem e foco sobre o eixo X.
  • Informação relevante fornecida (implícita no enunciado): cada parábola da família tem vértice em (0,0) e foco em (a,0) para algum parâmetro real a. A família inteira é obtida variando o parâmetro a.

Passo 2

Primeiro precisamos escrever a equação geral da família de parábolas (e entender o que é o parâmetro). Vou deduzir a equação da parábola com vértice na origem e foco em (a,0).
Definição de parábola (útil aqui): pontos cuja distância ao foco é igual à distância à directriz. Para foco em (a,0) e vértice em (0,0) a directriz é a reta x=-a. Assim, para um ponto genérico (x,y) vale
\sqrt{(x-a)^2+y^2}=x+a.
Elevando ao quadrado:
(x-a)^2+y^2=(x+a)^2.
Expandindo e simplificando (mostro as contas):
x^2-2ax+a^2+y^2 = x^2+2ax+a^2.
Cancelando x^2 e a^2 nos dois lados:
-2ax+y^2=2ax.
Reagrupando:
y^2=4ax.
Portanto a família de parábolas pode ser escrita como
y^2=4a x,
onde a é o parâmetro que determina o foco (a,0). (Se a>0 a parábola abre para a direita; se a<0 abre para a esquerda.)

Passo 3

Agora vamos aplicar o método padrão para encontrar trajetórias ortogonais: obter a equação diferencial da família dada, eliminar o parâmetro e impor a condição de perpendicularidade.
Derivo implicitamente a equação \,y^2=4a x em relação a x. Derivando ambos os lados:
2y\frac{dy}{dx}=4a.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{2a}{y}.
Para eliminar o parâmetro a uso a própria equação da família. Da equação \,y^2=4a x temos
a=\frac{y^2}{4x}.
Substituindo em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2a}{y}:
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}\cdot\frac{y^2}{4x}=\frac{y}{2x}.
Logo, a inclinação (a derivada) de uma curva da família em um ponto (x,y) é
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x}.

Passo 4

Condição de ortogonalidade: se duas curvas se intersectam orthogonalmente, os declives (as derivadas) em um ponto de interseção satisfazem que são negativos recíprocos. Ou seja, se uma família tem declive m=\dfrac{dy}{dx}, a trajetória ortogonal deve ter declive -\dfrac{1}{m}.
Aqui m=\dfrac{y}{2x}. Assim a derivada das trajetórias ortogonais deve ser
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{m}=-\frac{1}{\tfrac{y}{2x}}=-\frac{2x}{y}.
Obtemos a equação diferencial que descreve as trajetórias ortogonais:
\frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{y}.

Passo 5

Resolver a equação diferencial obtida. Ela é separável. Reescrevo:
y\,dy=-2x\,dx.
Integro ambos os lados (mostro cada passo):
\int y\,dy = \int -2x\,dx.
As integrais dão
\frac{1}{2}y^2 = -x^2 + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por 2 e rearranjando, posso escrever de forma mais bonita como
2x^2 + y^2 = C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida:
  • A família \,2x^2+y^2=C' são elipses centradas em (0,0) com eixos alinhados aos eixos coordenados (para C'>0). Isso faz sentido geometricamente: as parábolas abrem ao longo do eixo x e suas ortogonais são elipses transversas.
  • Verificação de ortogonalidade (checar que os declives multiplicam para -1): diferencio implicitamente 2x^2+y^2=C':
4x+2y\frac{dy}{dx}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{2x}{y},
que coincide com a equação diferencial que impusemos para as ortogonais. Multiplicando com \dfrac{y}{2x} -1, confirmado.

Resposta

2x^2+y^2=C,
onde C é constante real (tipicamente C>0 para obter elipses não degeneradas).

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