Encontrar as trajetórias ortogonais de todas as parábolas com vértice na origem e o foco sobre o eixo (X).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede: encontrar as trajetórias ortogonais de todas as parábolas que têm vértice na origem e foco sobre o eixo
. - Informação relevante fornecida (implícita no enunciado): cada parábola da família tem vértice em
e foco em para algum parâmetro real . A família inteira é obtida variando o parâmetro .
Passo 2
Primeiro precisamos escrever a equação geral da família de parábolas (e entender o que é o parâmetro). Vou deduzir a equação da parábola com vértice na origem e foco em
.
Definição de parábola (útil aqui): pontos cuja distância ao foco é igual à distância à directriz. Para foco em
e vértice em
a directriz é a reta
. Assim, para um ponto genérico
vale
Elevando ao quadrado:
Expandindo e simplificando (mostro as contas):
Cancelando
e
nos dois lados:
Reagrupando:
Portanto a família de parábolas pode ser escrita como
onde
é o parâmetro que determina o foco
. (Se
a parábola abre para a direita; se
abre para a esquerda.)
Passo 3
Agora vamos aplicar o método padrão para encontrar trajetórias ortogonais: obter a equação diferencial da família dada, eliminar o parâmetro e impor a condição de perpendicularidade.
Derivo implicitamente a equação
em relação a
. Derivando ambos os lados:
Isolando
:
Para eliminar o parâmetro
uso a própria equação da família. Da equação
temos
Substituindo em
:
Logo, a inclinação (a derivada) de uma curva da família em um ponto
é
Passo 4
Condição de ortogonalidade: se duas curvas se intersectam orthogonalmente, os declives (as derivadas) em um ponto de interseção satisfazem que são negativos recíprocos. Ou seja, se uma família tem declive
, a trajetória ortogonal deve ter declive
.
Aqui
. Assim a derivada das trajetórias ortogonais deve ser
Obtemos a equação diferencial que descreve as trajetórias ortogonais:
Passo 5
Resolver a equação diferencial obtida. Ela é separável. Reescrevo:
Integro ambos os lados (mostro cada passo):
As integrais dão
onde
é constante de integração. Multiplicando por
e rearranjando, posso escrever de forma mais bonita como
onde
é outra constante arbitrária.
Passo 6
Interpretação e verificação rápida:
- A família
são elipses centradas em com eixos alinhados aos eixos coordenados (para ). Isso faz sentido geometricamente: as parábolas abrem ao longo do eixo e suas ortogonais são elipses transversas. - Verificação de ortogonalidade (checar que os declives multiplicam para
): diferencio implicitamente :
que coincide com a equação diferencial que impusemos para as ortogonais. Multiplicando com
dá
, confirmado.
Resposta
onde
é constante real (tipicamente
para obter elipses não degeneradas).