9.8 A conducting rod has one end grounded at the origin, while the other end is free to move in the
plane. The rod rotates at
in a static magnetic field
. If the rod is 8 cm long, find the voltage induced in the rod.
Passo 1
Calma — vamos entender direitinho o que o enunciado pede e os dados que temos. O problema diz:
- Uma haste condutora tem uma das pontas aterrada na origem e a outra ponta livre, a haste gira no plano
. - A haste gira com velocidade angular
. - Há um campo magnético estático
. - O comprimento da haste é
. - Pede-se a tensão (voltagem) induzida na haste entre a ponta livre e a ponta aterrada.
Lista dos dados (todos explicitamente extraídos do enunciado):
O que precisamos encontrar: a diferença de potencial (tensão) entre o extremo livre da haste e a origem (ponta aterrada).
Passo 2
Qual é a ideia física e a fórmula que usamos? Aqui a haste está se movendo num campo magnético uniforme. Carga no condutor sofre força magnética e aparece uma força por unidade de carga (campo elétrico motional) dada por
. A tensão entre dois pontos de um condutor em movimento pode ser obtida integrando esse termo ao longo do condutor:
Explicando isso devagar:
é a velocidade local do pedaço da haste em cada ponto;
é o campo magnético;
tem direção igual ao campo elétrico efetivo que separa cargas;
é o elemento de comprimento ao longo da haste. O produto escalar dá a componente ao longo da haste que contribui para a diferença de potencial.
Essa é a forma direta e simples (método básico) para encontrar a fem (força eletromotriz) induzida numa haste em rotação.
Passo 3
Escolhemos coordenadas cilíndricas (mais natural para rotação em torno da origem). A haste estende-se radialmente de
até
no plano
. A velocidade de um ponto a distância
da origem, girando com
, é tangencial:
O campo magnético é
com
constante (vou converter unidade depois). O elemento de comprimento ao longo da haste (radial) é
Agora calculamos o produto vetorial
. Usando a relação das bases cilíndricas (ciclo:
,
, etc.), temos
Observe que isso aponta ao longo da haste (direção radial), então a componente ao longo de
é simplesmente o módulo desse vetor.
Passo 4
Agora colocamos isso na integral para a fem:
Essa integral é bem simples (é a integral de
):
Portanto a fórmula final (geral para uma haste girando em torno de uma extremidade, em campo
) é
Passo 5
Agora convertemos unidades e calculamos numericamente com calma. Primeiro converter
de
para tesla:
. Então
Converter
para metros:
Agora substituímos em
:
Faço as contas passo a passo:
Transformando para mili-volts (mais intuitivo):
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o valor é pequeno (da ordem de poucos mili-volts), o que faz sentido porque a haste é curta e o campo e velocidade são moderados. A unidade final está consistente:
em rad/s,
em tesla e
em metros levam a volts.