9.8 A conducting rod has one end grounded at the origin, while the other end is free to move in the z=0 plane. The rod rotates at 30 \mathrm{rad} / \mathrm{s} in a static magnetic field \mathbf{B}=60 \mathbf{a}_{z} \mathrm{mWb} / \mathrm{m}^{2}. If the rod is 8 cm long, find the voltage induced in the rod.

Passo 1

Calma — vamos entender direitinho o que o enunciado pede e os dados que temos. O problema diz:
  • Uma haste condutora tem uma das pontas aterrada na origem e a outra ponta livre, a haste gira no plano z=0.
  • A haste gira com velocidade angular \omega = 30\\ \mathrm{rad/s}.
  • Há um campo magnético estático \mathbf{B} = 60\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{mWb}/\mathrm{m}^2.
  • O comprimento da haste é L = 8\\ \mathrm{cm}.
  • Pede-se a tensão (voltagem) induzida na haste entre a ponta livre e a ponta aterrada.
Lista dos dados (todos explicitamente extraídos do enunciado):
\omega = 30,\quad \mathbf{B}=60\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{mWb}/\mathrm{m}^2,\quad L=8\\ \mathrm{cm}.
O que precisamos encontrar: a diferença de potencial (tensão) entre o extremo livre da haste e a origem (ponta aterrada).

Passo 2

Qual é a ideia física e a fórmula que usamos? Aqui a haste está se movendo num campo magnético uniforme. Carga no condutor sofre força magnética e aparece uma força por unidade de carga (campo elétrico motional) dada por \mathbf{v}\times\mathbf{B}. A tensão entre dois pontos de um condutor em movimento pode ser obtida integrando esse termo ao longo do condutor:
\mathcal{E}=\int_{\text{do 0 até }L} (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}.é
Explicando isso devagar: \mathbf{v} é a velocidade local do pedaço da haste em cada ponto; \mathbf{B} é o campo magnético; \mathbf{v}\times\mathbf{B} tem direção igual ao campo elétrico efetivo que separa cargas; d\mathbf{l} é o elemento de comprimento ao longo da haste. O produto escalar dá a componente ao longo da haste que contribui para a diferença de potencial.
Essa é a forma direta e simples (método básico) para encontrar a fem (força eletromotriz) induzida numa haste em rotação.

Passo 3

Escolhemos coordenadas cilíndricas (mais natural para rotação em torno da origem). A haste estende-se radialmente de r=0 até r=L no plano z=0. A velocidade de um ponto a distância r da origem, girando com \omega, é tangencial:
\mathbf{v} = \omega r\,\mathbf{a}_\varphi.
O campo magnético é \mathbf{B}=B\,\mathbf{a}_z com B constante (vou converter unidade depois). O elemento de comprimento ao longo da haste (radial) é
d\mathbf{l} = dr\,\mathbf{a}_r.
Agora calculamos o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{B}. Usando a relação das bases cilíndricas (ciclo: \mathbf{a}_r\times\mathbf{a}_\varphi=\mathbf{a}_z, \mathbf{a}_\varphi\times\mathbf{a}_z=\mathbf{a}_r, etc.), temos
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = (\omega r\,\mathbf{a}_\varphi)\times(B\,\mathbf{a}_z) = \omega r B\,(\mathbf{a}_\varphi\times\mathbf{a}_z) = \omega r B\,\mathbf{a}_r.
Observe que isso aponta ao longo da haste (direção radial), então a componente ao longo de d\mathbf{l} é simplesmente o módulo desse vetor.

Passo 4

Agora colocamos isso na integral para a fem:
\mathcal{E}=\int_{0}^{L} (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l} = \int_{0}^{L} (\omega r B\,\mathbf{a}_r)\cdot (dr\,\mathbf{a}_r) = \int_{0}^{L} \omega B r\,dr.
Essa integral é bem simples (é a integral de r):
\mathcal{E} = \omega B \int_{0}^{L} r\,dr = \omega B \left[\tfrac{1}{2}r^{2}\right]_{0}^{L} = \tfrac{1}{2}\,\omega B L^{2}.
Portanto a fórmula final (geral para uma haste girando em torno de uma extremidade, em campo \mathbf{B}\parallel\mathbf{a}_z) é
\mathcal{E}=\tfrac{1}{2}\,\omega B L^{2}.

Passo 5

Agora convertemos unidades e calculamos numericamente com calma. Primeiro converter B de \mathrm{mWb}/\mathrm{m}^2 para tesla: 1\\ \mathrm{mWb}/\mathrm{m}^2=10^{-3}\\ \mathrm{T}. Então
B = 60\\ \mathrm{mWb}/\mathrm{m}^2 = 60\times 10^{-3}\\ \mathrm{T} = 0,06\\ \mathrm{T}.
Converter L para metros:
L = 8\\ \mathrm{cm} = 0,08\\ \mathrm{m}.
Agora substituímos em \mathcal{E}=\tfrac{1}{2}\omega B L^{2}:
\mathcal{E}=\tfrac{1}{2}\cdot 30\\ \mathrm{rad/s}\cdot 0,06\\ \mathrm{T}\cdot (0,08\\ \mathrm{m})^{2}.
Faço as contas passo a passo:
(0,08)^{2}=0,0064.
\tfrac{1}{2}\cdot 30 = 15.
15\cdot 0,06 = 0,9.
0,9\cdot 0,0064 = 0,00576\\ \mathrm{V}.
Transformando para mili-volts (mais intuitivo):
0,00576\\ \mathrm{V} = 5,76\\ \mathrm{mV}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o valor é pequeno (da ordem de poucos mili-volts), o que faz sentido porque a haste é curta e o campo e velocidade são moderados. A unidade final está consistente: \omega em rad/s, B em tesla e L em metros levam a volts.

Resposta

5,76\\ \mathrm{mV}

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