9.9 A rectangular coil has a cross-sectional area of 30 \mathrm{~cm}^{2} and 50 turns. If the coil rotates at 60 \mathrm{rad} / \mathrm{s} in a magnetic field of 0.2 \mathrm{~Wb} / \mathrm{m}^{2} such that its axis of rotation is perpendicular to the direction of the field, determine the induced emf in the coil.

Passo 1

O enunciado pede que determinemos a fem induzida num enrolamento retangular que gira num campo magnético. Dados que o enunciado fornece:
\begin{aligned} &\text{Área da seção: }A = 30\\ \mathrm{cm}^2,\\\ &\text{Número de voltas: }N = 50,\\\ &\text{Velocidade angular: }\omega = 60\\ \mathrm{rad/s},\\\ &\text{Campo magnético: }B = 0,2\\ \mathrm{Wb/m^2}. \end{aligned}Áçãúé
A pergunta é: qual é a fem induzida no enrolamento? (Devemos interpretar isso como a expressão instantânea da fem e seu valor máximo; também é útil dar o valor eficaz se quisermos uma medida prática.)

Passo 2

Entendendo o que significa “fem induzida” e qual equação usar (a ideia física)
Explicação didática: quando um circuito muda o fluxo magnético que atravessa sua área, uma força eletromotriz (fem) aparece — é a Lei de Faraday. O fluxo magnético através de uma espira é a medida do quanto o campo magnético “atravessa” a área da espira. A fórmula do fluxo magnético \Phi é:
\Phi = B\,A\cos\theta,
onde:
  • \Phi é o fluxo magnético (em \mathrm{Wb}),
  • B é a intensidade do campo magnético (em \mathrm{Wb/m^2}),
  • A é a área da espira (em \mathrm{m^2}),
  • \theta é o ângulo entre a normal à superfície da espira e a direção de B.
    Se a espira gira com velocidade angular \omega, então \theta=\omega t (tomando t=0 quando \theta=0), e o fluxo varia com o tempo. A Lei de Faraday para N voltas diz:
\mathcal{E}(t) = -N\,\frac{d\Phi}{dt}.
O sinal negativo é a Lei de Lenz (direção da fem), mas para obter o valor numérico normalmente usamos a magnitude.

Passo 3

Expressar o fluxo para a espira girando e derivar a fem instantânea
Como a espira gira, substituímos \theta=\omega t em \Phi:
\Phi(t) = B\,A\cos(\omega t).
Agora aplicamos Faraday:
\mathcal{E}(t) = -N\,\frac{d}{dt}\big(B A \cos(\omega t)\big).
Derivando passo a passo (lembre que B e A são constantes):
\frac{d}{dt}\big(B A \cos(\omega t)\big) = B A \cdot \frac{d}{dt}\big(\cos(\omega t)\big) = B A \cdot (-\omega \sin(\omega t)).
Logo,
\mathcal{E}(t) = -N \cdot \big(B A \cdot (-\omega \sin(\omega t))\big) = N B A \omega \sin(\omega t).
Portanto a fem instantânea é senoidal com amplitude \varepsilon_{\max}=N B A \omega.

Passo 4

Converter unidades e calcular a área em \mathrm{m^2}
O enunciado deu a área em \mathrm{cm^2}. Precisamos de \mathrm{m^2}. Sabendo que 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
A = 30\\ \mathrm{cm^2} = 30\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2} = 3{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Calcular a amplitude da fem usando \varepsilon_{\max}=N B A \omega
Substituindo os valores:
\varepsilon_{\max} = N B A \omega = 50 \times 0{,}2 \times 3{,}0\times 10^{-3} \times 60.
Fazendo os cálculos passo a passo:
0{,}2 \times 3{,}0\times 10^{-3} = 6{,}0\times 10^{-4},
6{,}0\times 10^{-4} \times 60 = 3{,}6\times 10^{-2},
3{,}6\times 10^{-2} \times 50 = 1{,}8.
Portanto
\varepsilon_{\max} = 1{,}8\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Escrever a expressão final para a fem instantânea e calcular o valor eficaz (RMS)
A expressão instantânea, lembrando que \omega=60\\ \mathrm{rad/s}, é
\mathcal{E}(t) = \varepsilon_{\max}\sin(\omega t) = 1{,}8\sin(60\,t)\\ \mathrm{V}.
Para um sinal senoidal, o valor eficaz (RMS) é \varepsilon_{\mathrm{rms}}=\dfrac{\varepsilon_{\max}}{\sqrt{2}}. Calculando:
\varepsilon_{\mathrm{rms}} = \frac{1{,}8}{\sqrt{2}} \approx \frac{1{,}8}{1{,}4142} \approx 1{,}27\\ \mathrm{V}.

Resposta

\mathcal{E}(t)=1{,}8\sin(60\,t)\\ \mathrm{V}
\varepsilon_{\max}=1{,}8\\ \mathrm{V}
\varepsilon_{\mathrm{rms}}\approx 1{,}27\\ \mathrm{V}

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