Um conductor consiste em um número infinito de fios adjacentes, cada um infinitamente longo e conduzindo uma corrente i.
(a) Mostre que o campo magnético B para todos os pontos acima e abaixo da lâmina infinita de corrente é dado por
|B|=12 mu0 n i,
onde n é o número de fios por unidade de comprimento. Qual a direção do campo magnético nessas regiões?
(b) Determine um potencial vetor associado a esse campo magnético.

Passo 1

Nesse exercício temos uma lâmina infinita de correntes, formada por fios paralelos e adjacentes que conduzem cada um uma corrente i. O conteúdo principal é aplicar a Lei de Ampère para achar o módulo de vec B e depois encontrar um potencial vetor associado a esse campo. Vamos precisar conhecer a noção de densidade de corrente superficial K = n i, onde n é o número de fios por unidade de comprimento.

Passo 2

Para determinar |vec B| usamos a Lei de Ampère no formato integral:
oint vec B cdot dvec l = mu0 Irm enc
Escolhemos um contorno retangular de lado L paralelo à lâmina, cruzando-a num segmento de comprimento L. Como vec B é uniforme fora da lâmina e tangente ao traçado, só contribuem dois lados: um acima e um abaixo. Em cada lado vec Bcdot dvec l = B,L. O fluxo total é 2BL. A corrente envolvida é Irm enc=K L = n i L. Logo
2 B L = mu0 (n i L) Rightarrow B = 12mu0 n i

Passo 3

A direção de vec B é dada pela regra da mão direita: se as correntes fluem em +hat x, então para z>0 (acima da lâmina) o campo aponta em -hat y e para z<0 aponta em +hat y.
Para achar um potencial vetor vec A tal que nablatimesvec A=vec B, escolhemos a forma vec A=Ax(z),hat x. Assim
vec B = nablatimesvec A = dAxdz,hat y

Passo 4

Integramos:
dAxdz=B(z)=12mu0 n i,sgn(z)Rightarrow Ax(z)=-12mu0 n i,|z|+const

Passo 5

Podemos desprezar a constante (gauge), ficando

Resposta

a) O campo magnético tem módulo
|vec B| = 12,mu0,n,i
com
vec B = -tfrac12mu0 n i,hat y para z>0 e
vec B = +tfrac12mu0 n i,hat y para z<0.
b) Um potencial vetor conveniente é
vec A = -12,mu0,n,i,|z|,hat x
que satisfaz
nablatimesvec A=vec B.

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