Uma casca esférica uniformemente carregada gira em torno de seu eixo com uma velocidade angular omega=omega z fixa. Calcule o campo magnético produzido no centro da esfera.

Passo 1

A questão propõe uma casca esférica de raio R com carga total Q girando em torno do eixo z com velocidade angular omega=omega,hat z. O objetivo é calcular o campo magnético no centro da esfera usando magnetostática. Vamos precisar modelar a densidade de corrente superficial gerada pela rotação e usar a equivalência com magnetização.

Passo 2

A densidade de carga superficial é sigma=Q/(4pi R^2). Cada ponto da casca move-se com velocidade vec v=vecomegatimesvec r. Logo a corrente superficial é
vec K=sigma,vec v=sigmal(vecomegatimesvec rr)=sigma,omega,Rsintheta,hatvarphi
onde theta é o ângulo polar.

Passo 3

Reconhecemos que essa corrente de superfície é idêntica à corrente ligada de uma esfera uniformemente magnetizada. Para uma magnetização vec M constante, a corrente ligada na superfície é
vec Kb=vec Mtimeshat n
Comparando com vec K=sigma,omega,Rsintheta,hatvarphi, vemos que basta escolher
vec M=sigma,omega,R,hat z
para reproduzir a mesma vec Kb.

Passo 4

Sabemos da teoria de materiais magnetizados que o campo no interior de uma esfera com magnetização uniforme é
vec Bint=23,mu0,vec M
Logo, no centro da casca (interior), vale
vec B=23,mu0,sigma,omega,R,hat z .

Passo 5

Basta agora reescrever em termos de Q. Como sigma=Q/(4pi R^2), obtemos
vec B(0)=23,mu0,Q4pi R^2,omega,R,hat z =mu0,Q,omega6pi,R,hat z .

Resposta

vec B(0)=mu0,Q,omega6pi,R,hat z

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