Um cabo coaxial é formado por dois cilindros condutores coaxiais, de paredes muito finas, e raio interno r1 e externo r2. A corrente I em um dos cilindros tem o sentido oposto daquela que flui pelo outro. Calcule
(a) O campo B em todo o espaço.
(b) A densidade de energia magnética na região entre os cilindros.
© A energia magnética total armazenada numa região de comprimento l.
(d) Utilizando o resultado do item ©, a auto-indutância por unidade de comprimento.
(e) Repita o cálculo do item anterior através do cálculo do fluxo do campo magnético (fluxo através de qual superfície?).

Passo 1

O enunciado pede para analisar um cabo coaxial formado por dois cilindros condutores finos, coaxiais, de raios internos e externos r1 e r2, pelos quais percorrem correntes de mesma intensidade I e sentidos opostos. Vamos usar os seguintes conteúdos principais: Lei de Ampère para obter vec B, densidade de energia magnética u = B^2/(2mu0), e a definição de indutância Wm=tfrac12LI^2 e fluxolink para confirmar L.

Passo 2

Para calcular vec B(r) usamos a Lei de Ampère em simetria cilíndrica: ointvec Bcdot dvec l=mu0 Irm int.
Para r não há corrente interna, logo
vec B=0
Para r1 a corrente interna é I, então
B(r)=mu0 I2pi r,vec B= B(r),hatphi
Para r>r2 as correntes totalizam zero ( +I- I=0), dando
vec B=0

Passo 3

A densidade de energia magnética é
u(r)=B^22mu0 = 12mu0l(mu0 I2pi rr)^2 = mu0 I^28pi^2,r^2

Passo 4

A energia magnética total em um trecho de comprimento l é
Wm = integralV u,dV = integralr1^r2 mu0 I^28pi^2 r^2,(2pi r,l,dr) = mu0 I^2 l4pi integralr1^r2drr = mu0 I^2 l4pilnr2r1

Passo 5

A indutância total do trecho l vem de Wm=tfrac12 L I^2, então
L = 2WmI^2 = mu0 l2pilnr2r1
A indutância por unidade de comprimento é
L' = Ll = mu02pilnr2r1

Passo 6

Para confirmar via fluxo magnético, escolhemos como superfície aberta a região entre r1 e r2 de um cilindro de comprimento l, cuja borda é o contorno de um circuito ao redor do condutor interno. O fluxo acoplado é
Phi = integralr1^r2 B(r),l,dr = mu0 I l2pi integralr1^r2drr = mu0 I l2pilnr2r1
Logo a indutância é L=Phi/I e a indutância por comprimento L'=mu0/(2pi)ln(r2/r1), batendo com o resultado anterior.

Resposta

(a) vec B(r)=0 para r e r>r2, e vec B=dfracmu0I2pi r,hatphi para r1.
(b) u(r)=dfracmu0 I^28pi^2 r^2.
© Wm=dfracmu0 I^2 l4pilndfracr2r1.
(d) L'=dfracLl=dfracmu02pilndfracr2r1.
(e) Ao calcular o fluxo por uma superfície cilíndrica aberta entre r1 e r2 confirma-se L'=dfracmu02pilndfracr2r1.

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