Uma corrente elétrica I=2 A está uniformemente distribuída sobre a seção transversal de um fio cilíndrico de raio a=0,5 mm, comprimento l=1 m e resistividade rho=1,6 times 10^-8 Omega m. Considere o material como sendo ôhmico.
(a) Qual é o fluxo de portadores de carga através do fio? (suponha que o valor absoluto da carga de um portador vale e=1,6 times 10^-19 C )
(b) Encontre o módulo da densidade de corrente J.
© Determine a intensidade do campo elétrico E que gera esta densidade de corrente.
(d) Ache a diferença de potencial aplicada entre as pontas do fio. Esse resultado é consistente?
(e) Suponha agora que a densidade de corrente no fio é proporcional à distância a seu eixo, J=alpha r, em que alpha é uma constante. Determine a nova corrente elétrica que passa pelo fio.

Passo 1

O enunciado pede para calcular (a) o fluxo de portadores de carga que atravessam o fio, (b) a densidade de corrente $\vec J$, © o campo elétrico $\vec E$ associado, (d) a diferença de potencial entre as extremidades do fio e verificar consistência, e (e) a nova corrente se a densidade variar como $J=\alpha r$. O conteúdo envolve densidade de corrente, lei de Ohm microscópica e integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Para obter o fluxo de portadores de carga (número de cargas atravessando a seção por segundo), usamos que cada portador tem carga $e=1{,}6\times10^{-19}\,C$ e que a corrente total é $I=2\,A$. Então:
e=1,6times10^-19,C

Passo 3

A densidade de corrente é definida como $J=I/A$, onde $A=\pi a^2$. Com $a=0{,}5\,mm=5\times10^{-4}\,m$:
J=I/A

Passo 4

Na lei de Ohm microscópica temos $J=\sigma E$ ou $E=\rho J$, com $\rho=1{,}6\times10^{-8}\,\Omega\,m$. Logo:
J=sigma E

Passo 5

A diferença de potencial entre as pontas do fio de comprimento De é $\Delta V=E l$. Assim:
De

Passo 6

Para checar consistência, calculamos a resistência $R=\rho l/A$:
R=rho l/A
e confirmamos que $V=IR=(2)(2{,}04\times10{-2})=4{,}08\times10{-2}\,V$, ou seja, consistente com o resultado anterior.

Passo 7

Se $J®=\alpha r$, a corrente total é a integral de $J$ sobre a seção transversal em coordenadas cilíndricas:
J(r)=alpha r

Resposta

a) phiapprox1,25times10^19 portadores/s
b) Japprox2,55times10^6,A/m^2
c) Eapprox4,08times10^-2,V/m
d) De, consistente com R=2,04times10^-2,Omega e V=IR
e) I=tfrac2pialpha a^33

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