Um condutor de alumínio (resistividade a 20^{\circ} \mathrm{C} : 2.83 \mathrm{E}-8 \Omega \mathrm{~m} ) de 3 km e 20 mm de diâmetro deve conduzir uma corrente de 50A.
a) Qual a diferença de potencial no condutor à 20^{\circ} \mathrm{C} ?
b) Qual a potência dissipada no condutor?
c) Caso o condutor aqueça até 60^{\circ} \mathrm{C}, qual será a potência dissipada no mesmo para a mesma corrente?
Dado: coeficiente de temperatura do alumínio é de 3,91 \mathrm{E}-3 /{ }^{\circ} \mathrm{C} .35

Passo 1

O enunciado fornece um condutor de alumínio com resistividade à 20^\circ\mathrm{C} igual a \rho_{20}=2{,}83\times10^{-8}\,\Omega\mathrm{m}, comprimento L=3000\,\mathrm{m}, diâmetro d=20\,\mathrm{mm} e corrente I=50\,\mathrm{A}. Vamos usar:
A área da seção transversal A entra na resistência elétrica pela fórmula
R = \frac{\rho\,L}{A}
a resistividade varia com a temperatura segundo
\rho(T) = \rho_{20}\bigl[1 + \alpha\,(T - 20^\circ\mathrm{C})\bigr]
e a potência dissipada é
P = I^2\,R.

Passo 2

A área da seção transversal é
A = \pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2 = \pi\bigl(0{,}01\,\mathrm{m}\bigr)^2 = 3{,}1416\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2.

Passo 3

À 20^\circ\mathrm{C} temos \rho=\rho_{20}, logo
R_{20} = \frac{\rho_{20}\,L}{A} = \frac{2{,}83\times10^{-8}\times3000}{3{,}1416\times10^{-4}} \approx0{,}27\,\Omega.
A diferença de potencial é
\Delta V_{20} = I\,R_{20} = 50\times0{,}27 \approx13{,}5\,\mathrm{V},
e a potência dissipada
P_{20} = I^2\,R_{20} = 50^2\times0{,}27 \approx675\,\mathrm{W}.

Passo 4

Quando a temperatura sobe a 60^\circ\mathrm{C}, o coeficiente é \alpha=3{,}91\times10^{-3}/^\circ\mathrm{C} e \Delta T=40^\circ\mathrm{C}. Então
\rho_{60} = \rho_{20}\bigl[1 + \alpha\Delta T\bigr] = 2{,}83\times10^{-8}\bigl(1 + 3{,}91\times10^{-3}\times40\bigr) \approx3{,}27\times10^{-8}\,\Omega\mathrm{m},
R_{60} = \frac{\rho_{60}\,L}{A} = R_{20}\bigl(1 + \alpha\Delta T\bigr) \approx0{,}27\times1{,}1564 \approx0{,}31\,\Omega,
P_{60} = I^2\,R_{60} = 50^2\times0{,}31 \approx780\,\mathrm{W}.

Resposta

(a) \Delta V_{20}\approx13{,}5\,\mathrm{V}
(b) P_{20}\approx675\,\mathrm{W}
(c) P_{60}\approx780\,\mathrm{W}

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