Um condutor cilindrico infinitamente longo tem raioa e densidade linear de carga -\lambda. Ele é envolvido por um cilindro oco de material isolante, com raio interno b, raio externo c e uma densidade de carga volumétrica constante + p. Ambos estão dispostos concentricamente ao longo de un mesmo cixo. Determine o campo elétrico dentro do condutor, entre os cilindros, dentro do isolante e fora do sistema. Suas respostas podem conter somente \lambda, p, a, b, c, r e constantes.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema coaxial infinito: um condutor cilíndrico de raio a com carga linear -\lambda e, concentricamente, um cilindro oco isolante de raio interno b, externo c e densidade volumétrica de carga p. Precisamos achar o campo elétrico radial E(r) em cada região usando a Lei de Gauss, que diz
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\rm enc}}{\epsilon_0}\,.

Passo 2

Região r<a (dentro do condutor): em equilíbrio eletrostático o campo no interior de um condutor é nulo.
E(r)=0\quad (r<a)\,.

Passo 3

Região a<r<b (entre condutor e isolante): escolhemos como superfície gaussiana um cilindro de raio r e comprimento L. Por simetria,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,(2\pi r L)\,.
A carga encerrada é só a do condutor: Q_{\rm enc}=-\lambda L. Pela Lei de Gauss,
E(r)\,(2\pi r L) = \frac{-\lambda L}{\epsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{-\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}\quad(a<r<b)\,.

Passo 4

Região b<r<c (dentro do isolante): a mesma superfície gaussiana de raio r agora encerra também carga volumétrica do isolante entre b e r.
Volume encerrado = \pi\bigl(r^2 - b^2\bigr)L,
então
Q_{\rm enc} = -\lambda L \;+\; p\,\pi\bigl(r^2 - b^2\bigr)L.
Aplicando Gauss:
E(r)\,(2\pi r L) = \frac{-\lambda L + p\,\pi\bigl(r^2 - b^2\bigr)L}{\epsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{-\lambda + p\,\pi\bigl(r^2 - b^2\bigr)}{2\pi\epsilon_0\,r} \quad(b<r<c)\,.

Passo 5

Região r>c (fora de tudo): a carga volumétrica total do isolante vale p\,\pi(c^2 - b^2)L, então
Q_{\rm enc} = -\lambda L + p\,\pi(c^2 - b^2)L
e
E(r)\,(2\pi r L) = \frac{-\lambda L + p\,\pi(c^2 - b^2)L}{\epsilon_0} \;\Longrightarrow\; E(r) = \frac{-\lambda + p\,\pi(c^2 - b^2)}{2\pi\epsilon_0\,r} \quad(r>c)\,.

Resposta

r<a:\;E(r)=0.
a<r<b:\;E(r)=\displaystyle\frac{-\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}.
b<r<c:\;E(r)=\displaystyle\frac{-\lambda + p\,\pi\bigl(r^2 - b^2\bigr)}{2\pi\epsilon_0\,r}.
r>c:\;E(r)=\displaystyle\frac{-\lambda + p\,\pi\bigl(c^2 - b^2\bigr)}{2\pi\epsilon_0\,r}.

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