Calcule a integral definida:
\int_{0}^{\pi / 2} \cos x \operatorname{sen}^{2}(\operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,\sin^{2}\bigl(\sin x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é usar substituição de variável para simplificar o integrando; depois, vamos aplicar a identidade de redução de potência para \sin^{2}u.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x\,dx,
os limites mudam de x=0 para u=0 e de x=\pi/2 para u=1. Assim a integral vira
\int_{0}^{1}\sin^{2}(u)\,du.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{1}\sin^{2}(u)\,du
usamos a identidade
\sin^{2}(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}.
Logo
\int_{0}^{1}\sin^{2}(u)\,du =\int_{0}^{1}\frac{1-\cos(2u)}{2}\,du =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}du-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos(2u)\,du.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{1}du = 1, \quad \int_{0}^{1}\cos(2u)\,du = \left.\frac{\sin(2u)}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{\sin(2)}{2}.
Portanto
\int_{0}^{1}\sin^{2}(u)\,du =\frac{1}{2}\cdot1-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2)}{2} =\frac{1}{2}-\frac{\sin(2)}{4}.

Resposta

\frac{1}{2}-\frac{\sin(2)}{4}.

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