resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sec} ^{3} x, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + y = \operatorname{sec}^3 x
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=\tfrac12.
O conteúdo envolvido é resolução de EDO linear de segunda ordem, usando primeiro a solução geral da equação homogênea e depois encontrando uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0,
cuja solução geral é
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x.

Passo 3

Para a variação de parâmetros tomamos y_1=\cos x e y_2=\sin x. O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1.
As fórmulas são
u_1' = -\frac{y_2\,f(x)}{W} = -\sin x\;\operatorname{sec}^3 x = -\tan x\,\operatorname{sec}^2 x, \quad u_2' = \frac{y_1\,f(x)}{W} = \cos x\;\operatorname{sec}^3 x = \operatorname{sec}^2 x,
onde f(x)=\operatorname{sec}^3 x.

Passo 4

Integramos para achar u_1 e u_2:
u_1 = -\int \tan x\,\operatorname{sec}^2 x\,dx = -\frac{\operatorname{sec}^2 x}{2}, \qquad u_2 = \int \operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x.
Logo uma solução particular vale
y_p = u_1\,\cos x + u_2\,\sin x = -\frac{\operatorname{sec}^2 x}{2}\cos x + \tan x\,\sin x = -\cos x + \frac12\operatorname{sec} x.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos x + C_2\sin x \;+\;\Bigl(-\cos x + \tfrac12\operatorname{sec} x\Bigr) = (C_1-1)\cos x + C_2\sin x + \tfrac12\operatorname{sec} x.

Passo 6

Impondo as condições iniciais:
Em x=0:
y(0) = (C_1-1)\cdot1 + C_2\cdot0 + \tfrac12\cdot1 = C_1 -1 + \tfrac12 = 1 \;\implies\;C_1 = \tfrac32.
Derivando
y'(x) = -(C_1-1)\sin x + C_2\cos x + \tfrac12\operatorname{sec} x\tan x,
em x=0
y'(0) = 0 + C_2\cdot1 + \tfrac12\cdot1\cdot0 = C_2 = \tfrac12.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac12\cos x + \frac12\sin x + \frac12\operatorname{sec} x.}

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