resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas. y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sec} ^{3} x, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + y = \operatorname{sec}^3 x
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=\tfrac12.
O conteúdo envolvido é resolução de EDO linear de segunda ordem, usando primeiro a solução geral da equação homogênea e depois encontrando uma solução particular por variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea associada é
y'' + y = 0,
cuja solução geral é
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x.
Passo 3
Para a variação de parâmetros tomamos y_1=\cos x e y_2=\sin x. O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} = \cos^2 x + \sin^2 x = 1.
y_p = u_1\,\cos x + u_2\,\sin x = -\frac{\operatorname{sec}^2 x}{2}\cos x + \tan x\,\sin x = -\cos x + \frac12\operatorname{sec} x.
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos x + C_2\sin x \;+\;\Bigl(-\cos x + \tfrac12\operatorname{sec} x\Bigr) = (C_1-1)\cos x + C_2\sin x + \tfrac12\operatorname{sec} x.