Considere as as funções f(x)=x^{2}-1, g(x)=x+2, j(x)=7-x.
(a) [1 pt] Determine o domínio da função h(x)=\frac{\sqrt{g(x)}+4 \sqrt{j(x)}}{f(x)}
(b) [1 \mathrm{pt}] Determinar o intervalo em que |g(x)| \geq 1-|j(x)| of
(c) [1 \mathrm{pt}] Esboce o gráfico de y=-f(x-2)-1

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x^{2}-1,\quad g(x)=x+2,\quad j(x)=7-x
e pede três coisas:
(a) o domínio de
h(x)=\frac{\sqrt{g(x)}+4\sqrt{j(x)}}{f(x)},
(b) o conjunto de x tais que \lvert g(x)\rvert \ge 1 - \lvert j(x)\rvert, e
(c) o esboço do gráfico de
y = -\,f(x-2) \;-\;1.
Para (a) precisamos usar condições de existência de raízes e de denominador não nulo; para (b) resolver desigualdade com valores absolutos; para (c) aplicar transformações (translação e reflexão) ao gráfico de f.

Passo 2

Para (a), exigimos \sqrt{g(x)} real, ou seja
g(x)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x+2\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge -2.

Passo 3

Ainda em (a), exigimos \sqrt{j(x)} real, ou seja
j(x)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad 7-x\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\le7.

Passo 4

Continuando (a), o denominador não pode ser zero:
f(x)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-1\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq -1,\;x\neq1.

Passo 5

Interseccionando as três condições, o domínio de h é
\{x\mid -2\le x\le7\}\;\setminus\;\{-1,1\}.

Passo 6

Para (b), queremos
\lvert x+2\rvert \;\ge\;1 - \lvert7-x\rvert.
Observe que 1-\lvert7-x\rvert\le1. Como \lvert x+2\rvert\ge0, sempre veremos que o lado esquerdo é maior ou igual ao direito, mesmo nos trechos em que 1-\lvert7-x\rvert>0. Verificando em detalhe nos intervalos em que \lvert7-x\rvert<1 (ou seja, 6<x<8), a desigualdade ainda se satisfaz sem restrição adicional. Logo, a solução é todo o conjunto dos números reais:
(-\infty,\infty).

Passo 7

Para (c), começamos por reescrever
y=-\,f(x-2)-1 \;=\;-\,\bigl((x-2)^{2}-1\bigr)\;-\;1 \;=\;-\,(x-2)^{2}\;+\;1\;-\;1 \;=\;-\,(x-2)^{2}.
É uma parábola com concavidade para baixo e vértice em (2,0).

Passo 8

Esboço de y=-(x-2)^{2}:
– Vértice em (2,0).
– Abre para baixo.
– Alguns pontos: para x=1 ou 3, y=-1; para x=0 ou 4, y=-4.

Resposta

(a) \;[-2,7]\setminus\{-1,1\}.
(b) \;(-\infty,\infty).
(c) Gráfico de y=-(x-2)^{2}: parábola voltada para baixo, vértice em (2,0).

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