Um condutor cilíndrico longo de raio a transporta uma corrente i. Outro condutor cilíndrico longo de mesmo raio possui eixo paralelo ao primeiro condutor e transporta a mesma corrente. A distância entre os eixos dos cilindros é igual a d, sendo d>2 a. Determine o fluxo magnético total (por unidade de comprimento) através do plano que contém os eixos e para a região situada entre os referidos eixos, no caso em que as correntes possuem o mesmo sentido.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: dois fios cilíndricos infinitos, cada um com raio a e transportando corrente i no mesmo sentido, têm os eixos paralelos separados por uma distância d > 2a. A gente quer calcular o fluxo magnético (por unidade de comprimento) que passa pela placa imaginária que contém os dois eixos, mas só na região que fica entre eles.
Conteúdo: campo magnético de um fio retilíneo e fluxo magnético.
O que vamos precisar:
  1. A expressão do campo magnético fora de um fio longo (Lei de Ampère num fio cilíndrico).
  2. O sinal (direção) do campo em cada ponto na placa, usando a regra da mão direita.
  3. Integrar o campo perpendicular à placa sobre a região entre os eixos.

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria: para um fio longo e reto (ou cilindro, mas na região externa) que transporta corrente i, o módulo do campo magnético a uma distância r do eixo é
B(r)=mu0,i2pi,r,, r>= a,
A direção de é tangencial ao círculo de raio r (regra da mão direita).

Passo 3

Agora, escolha um sistema de coordenadas assim: o plano que contém os eixos é o plano (eixos em saindo da página e apontando de um fio para o outro). Então:
  • Fio 1 em , fio 2 em .
  • Em todo ponto entre os eixos ( , ) estamos fora dos cilindros (porque ).
  • Pelo dedão para cima (corrente no +z), o campo do fio 1 no ponto aponta para .
  • O campo do fio 2, visto dessa região, aponta para .

Passo 4

O fluxo magnético por unidade de comprimento é
Phim=integralentre eixos vec Brm totalcdot dvec S,,
aqui Brm total(x)=B2(x)-B1(x) =mu0i2pi,(d-x)-mu0i2pi,x, é um vetor na direção Phim =integralx=a^,x=d-al[mu0i2pi(d-x)-mu0i2pi xr],dx (pois a placa está em Phim =mu0i2pil[-ln(d-x)-ln xr]x=a^x=d-a =mu0i2pil[l(-ln a-ln(d-a)r)-l(-ln(d-a)-ln ar)r] =0 ), de módulo por unidade de comprimento em .
Tomando positivo o fluxo para , o campo resultante é
$$B_{\rm total}(x)=B_2(x)-B_1(x)
=\frac{\mu_0i}{2\pi,(d-x)}-\frac{\mu_0i}{2\pi,x},. ã
\Phi_m
=\int_{x=a}^{,x=d-a}\Bigl[\frac{\mu_0i}{2\pi(d-x)}-\frac{\mu_0i}{2\pi x}\Bigr],dx.
$$
Vamos integrar:
-
-
Assim

Resposta

O fluxo magnético total (por unidade de comprimento) através da placa entre os eixos, para correntes no mesmo sentido, é zero.

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