Um condutor cilíndrico longo de raio
transporta uma corrente
. Outro condutor cilíndrico longo de mesmo raio possui eixo paralelo ao primeiro condutor e transporta a mesma corrente. A distância entre os eixos dos cilindros é igual a
, sendo
. Determine o fluxo magnético total (por unidade de comprimento) através do plano que contém os eixos e para a região situada entre os referidos eixos, no caso em que as correntes possuem o mesmo sentido.
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: dois fios cilíndricos infinitos, cada um com raio a e transportando corrente i no mesmo sentido, têm os eixos paralelos separados por uma distância d > 2a. A gente quer calcular o fluxo magnético (por unidade de comprimento) que passa pela placa imaginária que contém os dois eixos, mas só na região que fica entre eles.
Conteúdo: campo magnético de um fio retilíneo e fluxo magnético.
O que vamos precisar:
Conteúdo: campo magnético de um fio retilíneo e fluxo magnético.
O que vamos precisar:
- A expressão do campo magnético fora de um fio longo (Lei de Ampère num fio cilíndrico).
- O sinal (direção) do campo em cada ponto na placa, usando a regra da mão direita.
- Integrar o campo perpendicular à placa sobre a região entre os eixos.
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria: para um fio longo e reto (ou cilindro, mas na região externa) que transporta corrente i, o módulo do campo magnético a uma distância r do eixo é
A direção de
Passo 3
Agora, escolha um sistema de coordenadas assim: o plano que contém os eixos é o plano
(eixos em
saindo da página e
apontando de um fio para o outro). Então:
- Fio 1 em
, fio 2 em . - Em todo ponto entre os eixos (
, ) estamos fora dos cilindros (porque ). - Pelo dedão para cima (corrente no +z), o campo do fio 1 no ponto
aponta para . - O campo do fio 2, visto dessa região, aponta para
.
Passo 4
O fluxo magnético por unidade de comprimento é
aqui
Tomando positivo o fluxo para
$$B_{\rm total}(x)=B_2(x)-B_1(x)
=\frac{\mu_0i}{2\pi,(d-x)}-\frac{\mu_0i}{2\pi,x},.
\Phi_m
=\int_{x=a}^{,x=d-a}\Bigl[\frac{\mu_0i}{2\pi(d-x)}-\frac{\mu_0i}{2\pi x}\Bigr],dx.
=\int_{x=a}^{,x=d-a}\Bigl[\frac{\mu_0i}{2\pi(d-x)}-\frac{\mu_0i}{2\pi x}\Bigr],dx.
$$
Vamos integrar:
-
-
Vamos integrar:
-
-
Assim
Resposta
O fluxo magnético total (por unidade de comprimento) através da placa entre os eixos, para correntes no mesmo sentido, é zero.