Um condutor cilíndrico longo de raio
transporta uma corrente
. Outro condutor cilíndrico longo de mesmo raio possui eixo paralelo ao primeiro condutor e transporta a mesma corrente. A distância entre os eixos dos cilindros é igual a
, sendo
. Determine o fluxo magnético total (por unidade de comprimento) através do plano que contém os eixos e para a região situada entre os referidos eixos, no caso em que as correntes possuem sentidos contrários.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício está pedindo. Temos dois fios cilíndricos longos de raio
, paralelos, separados por uma distância de eixos
. Cada um carrega corrente de módulo
, mas em sentidos opostos. Querem o fluxo magnético (por unidade de comprimento) que atravessa o plano que contém os dois eixos, restrito à região entre esses eixos.
Conteúdo: campo magnético de um fio longo (Lei de Ampère) e definição de fluxo magnético . Precisamos:
Conteúdo: campo magnético de um fio longo (Lei de Ampère) e definição de fluxo magnético
- achar
em cada ponto do plano entre os eixos; - projetar o componente normal ao plano;
- integrar tudo pra obter
por unidade de comprimento.
Passo 2
Teoria do campo de um fio cilíndrico longo e uniforme:
- Para um fio de raio
com corrente distribuída uniformemente, a intensidade do campo magnético a uma distância do eixo é - Dentro (
): - Fora (
):
- Dentro (
O sentido de
é tangencial ao redor do fio (regra da mão direita).
O fluxo magnético através de uma superfície de normal
é
O fluxo magnético através de uma superfície
onde
é a componente de
na direção de
.
Passo 3
Coordenadas e orientação:
- Vamos colocar o primeiro fio no eixo
, o segundo no . Ambos ao longo de . - A superfície é o plano
, cujo vetor normal é . - O fluxo por unidade de comprimento em
vira - Cada fio contribui para
. Como as correntes têm sentidos opostos, as contribuições se somam em mesma direção de .
Passo 4
Dividimos a região
em três sub-intervalos, conforme estamos dentro ou fora de cada cilindro:
-
: dentro do fio de , fora do de . -
: fora de ambos os fios. -
: fora do fio em , dentro do de .
Em cada região, achamos
, onde
-
é do fio em , usando as fórmulas de dentro/fora; -
é do fio em (corrente ), mas dá no mesmo módulo e mesmo sinal para entre os eixos.
Passo 5
Montando as integrais:
-
De
a :
,
. -
De
a :
. -
De
a :
Agora somamos:
Agrupando e usando
, dá: