Um condutor cilíndrico longo de raio a transporta uma corrente i. Outro condutor cilíndrico longo de mesmo raio possui eixo paralelo ao primeiro condutor e transporta a mesma corrente. A distância entre os eixos dos cilindros é igual a d, sendo d>2 a. Determine o fluxo magnético total (por unidade de comprimento) através do plano que contém os eixos e para a região situada entre os referidos eixos, no caso em que as correntes possuem sentidos contrários.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício está pedindo. Temos dois fios cilíndricos longos de raio , paralelos, separados por uma distância de eixos . Cada um carrega corrente de módulo , mas em sentidos opostos. Querem o fluxo magnético (por unidade de comprimento) que atravessa o plano que contém os dois eixos, restrito à região entre esses eixos.
Conteúdo: campo magnético de um fio longo (Lei de Ampère) e definição de fluxo magnético . Precisamos:
  1. achar em cada ponto do plano entre os eixos;
  2. projetar o componente normal ao plano;
  3. integrar tudo pra obter por unidade de comprimento.

Passo 2

Teoria do campo de um fio cilíndrico longo e uniforme:
  • Para um fio de raio B(r);=;mu0,i2pi,a^2;r com corrente B(r);=;mu0,i2pi,r distribuída uniformemente, a intensidade do campo magnético a uma distância Phi ;=;integral duplaS Bcdot d S ;=;integral duplaS Bn,dS, do eixo é
    1. Dentro ( ):
    2. Fora ( ):
O sentido de é tangencial ao redor do fio (regra da mão direita).
O fluxo magnético através de uma superfície de normal é
onde é a componente de na direção de .

Passo 3

Coordenadas e orientação:
  • Vamos colocar o primeiro fio no eixo PhiL = integralx=0^x=d By(x),dx , o segundo no . Ambos ao longo de .
  • A superfície é o plano , cujo vetor normal é .
  • O fluxo por unidade de comprimento em vira
  • Cada fio contribui para . Como as correntes têm sentidos opostos, as contribuições se somam em mesma direção de .

Passo 4

Dividimos a região em três sub-intervalos, conforme estamos dentro ou fora de cada cilindro:
  1. : dentro do fio de , fora do de .
  2. : fora de ambos os fios.
  3. : fora do fio em , dentro do de .
Em cada região, achamos
, onde
  • é do fio em , usando as fórmulas de dentro/fora;
  • é do fio em (corrente ), mas dá no mesmo módulo e mesmo sinal para entre os eixos.

Passo 5

Montando as integrais:
  1. De I1 = integral0^al(tfracmu0 i2pi a^2x + tfracmu0 i2pi(d-x)r)dx = mu0 i2pil[tfrac12 + ln!tfracdd-ar] a I2 = mu0 i2piintegrala^d-al(tfrac1x+tfrac1d-xr)dx = mu0 ipi;ln!d-aa :
    I3 = integrald-a^dl(tfracmu0 i2pi x +tfracmu0 i2pi a^2(d-x)r)dx = mu0 i2pil[lntfracdd-a+tfrac12r] ,
    PhiL ;=; I1 + I2 + I3 = mu0 i2pil(tfrac12+tfrac12r) +mu0 i2pil(2lntfracdd-ar) +mu0 ipilntfracd-aa .
  2. De a :
    .
  3. De a :
Agora somamos:
Agrupando e usando , dá:

Resposta

boxed PhiL = mu0,i2pi,l[,1 + 2,ln!l(tfrac d ar)r]

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