Em um condutor cilíndrico maciço de raio b flui uma corrente total \mathrm{i}_{0} através da seção reta do mesmo. A densidade de corrente varia com a distância ao eixo do cilindro de acordo com a relação \mathrm{j}=\mathrm{Ar}, em que r é a distância ao eixo central e A é uma constante. (a) qual a dimensão de A ?; (b) determine o módulo da indução magnética para os pontos externos ao condutor, \mathrm{r}>\mathrm{b}; (c) idem para \mathrm{r}<\mathrm{b}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações fornecidas:
  • Temos um condutor cilíndrico maciço, de raio \,b, pelo qual flui uma corrente total \,i_{0} através da seção reta.
  • A densidade de corrente varia radialmente segundo a lei \;j(r)=A\,r, em que \,r é a distância ao eixo e \,A é uma constante (do enunciado).
    Pede-se:
    (a) a dimensão (unidade) da constante \,A;
    (b) o módulo da indução magnética \,B para pontos externos ao condutor ( r>b);
    (c) o módulo da indução magnética \,B para pontos internos ao condutor ( r<b).

Passo 2

Entendendo unidades e o que é a densidade de corrente. A densidade de corrente \,j é corrente por unidade de área, portanto tem unidade no SI de ampere por metro quadrado. Em símbolos:
[j] = \mathrm{A\,m^{-2}}.
Como \;j(r)=A\,r, a unidade de \,A deve ser tal que multiplicada por uma distância (metro) resulte em \mathrm{A\,m^{-2}}. Logo a unidade de \,A é
[A] = \frac{\mathrm{A\,m^{-2}}}{\mathrm{m}} = \mathrm{A\,m^{-3}}.
Isto é, \,A tem dimensão de corrente por volume (ampere por metro cúbico), ou em notação dimensional \,[A]=I\,L^{-3}.

Passo 3

Relacionando \,A com a corrente total \,i_{0}. A corrente total que atravessa a seção circular de raio \,b é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção:
i_{0}=\iint_{\text{seção}} j\,dS.çã
Em coordenadas polares a área elementar é dS=2\pi r' dr' quando se integra radialmente (explicando: para um anel de raio r' e espessura dr' a área é perímetro 2\pi r' vezes dr'). Assim:
i_{0}=\int_{0}^{b} j(r')\;2\pi r'\,dr'=\int_{0}^{b} A r'\;2\pi r'\,dr'=2\pi A\int_{0}^{b} r'^{2}\,dr'.
Calculando a integral:
\int_{0}^{b} r'^{2}\,dr'=\frac{b^{3}}{3},
portanto
i_{0}=2\pi A\frac{b^{3}}{3} \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3 i_{0}}{2\pi b^{3}}.
(Nesta etapa eu calculei explicitamente A em função de i_{0} e b porque vai ser útil expressar o campo magnético também em termos de i_{0}.)

Passo 4

Princípio para obter o campo magnético: usamos a Lei de Ampère (forma integral). Vou explicar a lei e por que podemos usá-la aqui. A Lei de Ampère diz que, para correntes estacionárias em espaço livre,
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde \mathbf{B} é o campo magnético, a integral é feita ao longo de um caminho fechado \mathcal{C}, \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e I_{\text{enc}} é a corrente total encurralada (incluída) dentro do caminho. Neste problema temos simetria cilíndrica: o campo magnético será tangencial (ao redor do eixo) e dependente só de r; portanto a escolha natural para \mathcal{C} é um círculo de raio r centrado no eixo. Para esse círculo d\ell tem módulo dl e \mathbf{B} é tangente e constante em magnitude ao longo do caminho, então a integral fica
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(r)\cdot 2\pi r.
Assim a Lei de Ampère reduz-se a
B(r)\,2\pi r=\mu_{0}\,I_{\text{enc}}(r),
onde \,I_{\text{enc}}(r) é a corrente que passa dentro do raio r.

Passo 5

Campo magnético para r>b (fora do condutor). Para r>b a curva amperiana encerra toda a corrente do fio, logo I_{\text{enc}}(r)=i_{0} (a corrente total). Substituindo na forma reduzida de Ampère:
B(r)\,2\pi r=\mu_{0}\,i_{0}\quad\Rightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi r},\qquad (r>b).
Explicando em palavras: fora do condutor o campo magnético é igual ao de um fio retilíneo com corrente i_{0}, decai como 1/r e é tangencial (circulando o eixo).

Passo 6

Campo magnético para r<b (dentro do condutor). Agora a corrente encerrada por uma curva de raio r<b é a corrente que passa apenas até esse raio. Calculamos I_{\text{enc}}(r) integrando a densidade até r:
I_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r} j(r')\;2\pi r'\,dr'=\int_{0}^{r} A r'\;2\pi r'\,dr'=2\pi A\int_{0}^{r} r'^{2}\,dr' =2\pi A\frac{r^{3}}{3}.
Aplicando Ampère:
B(r)\,2\pi r=\mu_{0}\,I_{\text{enc}}(r)=\mu_{0}\,2\pi A\frac{r^{3}}{3}.
Cancelando o fator 2\pi r:
B(r)=\mu_{0}\,A\frac{r^{2}}{3},\qquad (r<b).
Se quisermos escrever B(r) dentro do condutor em termos de i_{0} e b, substituímos A=\dfrac{3 i_{0}}{2\pi b^{3}} (do Passo 3):
B(r)=\mu_{0}\;\frac{3 i_{0}}{2\pi b^{3}}\cdot\frac{r^{2}}{3}=\frac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi}\;\frac{r^{2}}{b^{3}},\qquad (r<b).
Portanto duas formas equivalentes para r<b são
B(r)=\mu_{0}A\frac{r^{2}}{3}\quad\text{ou}\quad B(r)=\frac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi}\frac{r^{2}}{b^{3}}.

Passo 7

Verificação de continuidade em r=b. É útil checar se as expressões interna e externa coincidem em r=b:
  • Usando a expressão externa em r=b: B_{\text{out}}(b)=\dfrac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi b}.
  • Usando a expressão interna em r=b: B_{\text{in}}(b)=\dfrac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi}\dfrac{b^{2}}{b^{3}}=\dfrac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi b}.
    As duas coincidem, portanto o campo é contínuo na superfície, como esperado para essa distribuição de corrente.

Resposta

(a) [A]=\mathrm{A\,m^{-3}} (ampere por metro cúbico).\n(b) B(r)=\dfrac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi r}, para r>b.\n(c) B(r)=\mu_{0}A\,\dfrac{r^{2}}{3}=\dfrac{\mu_{0}\,i_{0}}{2\pi}\dfrac{r^{2}}{b^{3}}, para r<b.

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