Em um condutor cilíndrico maciço de raio b flui uma corrente total
através da seção reta do mesmo. A densidade de corrente varia com a distância ao eixo do cilindro de acordo com a relação
, em que r é a distância ao eixo central e A é uma constante. (a) qual a dimensão de A ?; (b) determine o módulo da indução magnética para os pontos externos ao condutor,
; (c) idem para
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações fornecidas:
- Temos um condutor cilíndrico maciço, de raio
, pelo qual flui uma corrente total através da seção reta. - A densidade de corrente varia radialmente segundo a lei
, em que é a distância ao eixo e é uma constante (do enunciado).
Pede-se:
(a) a dimensão (unidade) da constante;
(b) o módulo da indução magnéticapara pontos externos ao condutor ( );
(c) o módulo da indução magnéticapara pontos internos ao condutor ( ).
Passo 2
Entendendo unidades e o que é a densidade de corrente. A densidade de corrente
é corrente por unidade de área, portanto tem unidade no SI de ampere por metro quadrado. Em símbolos:
Como
, a unidade de
deve ser tal que multiplicada por uma distância (metro) resulte em
. Logo a unidade de
é
Isto é,
tem dimensão de corrente por volume (ampere por metro cúbico), ou em notação dimensional
.
Passo 3
Relacionando
com a corrente total
. A corrente total que atravessa a seção circular de raio
é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção:
Em coordenadas polares a área elementar é
quando se integra radialmente (explicando: para um anel de raio
e espessura
a área é perímetro
vezes
). Assim:
Calculando a integral:
portanto
(Nesta etapa eu calculei explicitamente
em função de
e
porque vai ser útil expressar o campo magnético também em termos de
.)
Passo 4
Princípio para obter o campo magnético: usamos a Lei de Ampère (forma integral). Vou explicar a lei e por que podemos usá-la aqui. A Lei de Ampère diz que, para correntes estacionárias em espaço livre,
onde
é o campo magnético, a integral é feita ao longo de um caminho fechado
,
é a permeabilidade do vácuo e
é a corrente total encurralada (incluída) dentro do caminho. Neste problema temos simetria cilíndrica: o campo magnético será tangencial (ao redor do eixo) e dependente só de
; portanto a escolha natural para
é um círculo de raio
centrado no eixo. Para esse círculo
tem módulo
e
é tangente e constante em magnitude ao longo do caminho, então a integral fica
Assim a Lei de Ampère reduz-se a
onde
é a corrente que passa dentro do raio
.
Passo 5
Campo magnético para
(fora do condutor). Para
a curva amperiana encerra toda a corrente do fio, logo
(a corrente total). Substituindo na forma reduzida de Ampère:
Explicando em palavras: fora do condutor o campo magnético é igual ao de um fio retilíneo com corrente
, decai como
e é tangencial (circulando o eixo).
Passo 6
Campo magnético para
(dentro do condutor). Agora a corrente encerrada por uma curva de raio
é a corrente que passa apenas até esse raio. Calculamos
integrando a densidade até
:
Aplicando Ampère:
Cancelando o fator
:
Se quisermos escrever
dentro do condutor em termos de
e
, substituímos
(do Passo 3):
Portanto duas formas equivalentes para
são
Passo 7
Verificação de continuidade em
. É útil checar se as expressões interna e externa coincidem em
:
- Usando a expressão externa em
: . - Usando a expressão interna em
: .
As duas coincidem, portanto o campo é contínuo na superfície, como esperado para essa distribuição de corrente.
Resposta
(a)
(ampere por metro cúbico).\n(b)
, para
.\n(c)
, para
.