A soma dos valores de duas cargas pontuais q_{1} e q_{2} é q_{1}+q_{2}=10 \mu \mathrm{C}. Quando estão afastadas 3 m entre si, o módulo da força exercida por cada uma delas sobre a outra é 24 N . Determine os valores de \mathrm{q}_{1} e \mathrm{q}_{2}, se:
Uma das cargas é positiva e a outra negativa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente os valores das cargas:
  • A soma das cargas é \,q_{1}+q_{2}=10\\ \mu\mathrm{C}.
  • As cargas estão separadas por uma distância de 3\\ \mathrm{m}.
  • O módulo da força elétrica entre elas é \,24\\ \mathrm{N}.
  • Condição adicional: uma carga é positiva e a outra é negativa (ou seja, sinais opostos).
    O que se pede: determinar os valores numéricos de q_{1} e q_{2} (com seus sinais).

Passo 2

Vamos lembrar a lei de Coulomb (a ferramenta que vamos usar) e explicar cada coisa:
A lei de Coulomb diz que o módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes é
F = k \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}},
onde:
  • F é o módulo da força elétrica (em newtons, \mathrm{N}),
  • k é a constante eletrostática no vácuo, que vale aproximadamente k = 9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}},
  • |q_{1} q_{2}| é o valor absoluto do produto das cargas (em coulombs ao quadrado, \mathrm{C^{2}}),
  • r é a distância entre as cargas (em metros, \mathrm{m}).
    Observação sobre sinais: como as cargas têm sinais opostos, o produto q_{1}q_{2} será negativo; porém a fórmula usa o valor absoluto |q_{1}q_{2}|, que é igual a -q_{1}q_{2} nesse caso.

Passo 3

Usamos os dados para calcular o produto absoluto das cargas:
Substituindo F=24\\ \mathrm{N}, r=3\\ \mathrm{m}, k=9,0\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} em
|q_{1}q_{2}| = \frac{F r^{2}}{k}
temos
|q_{1}q_{2}| = \frac{24\cdot 3^{2}}{9{,}0\times10^{9}} = \frac{24\cdot 9}{9{,}0\times10^{9}} = \frac{24}{10^{9}} = 2{,}4\times10^{-8}\\ \mathrm{C^{2}}.

Passo 4

Expressamos a soma das cargas em unidades de coulomb:
q_{1}+q_{2}=10\\ \mu\mathrm{C}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
Denotando S=1{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{C}, podemos escrever q_{2}=S-q_{1}.
Como as cargas têm sinais opostos, q_{1}q_{2}<0 e portanto -q_{1}q_{2}=|q_{1}q_{2}|=2{,}4\times10^{-8}.
Substituindo q_{2}=S-q_{1} obtemos:
- q_{1}(S-q_{1}) = 2{,}4\times10^{-8}.
Desenvolvendo,
- S q_{1} + q_{1}^{2} = 2{,}4\times10^{-8},
ou organizado como uma equação quadrática em q_{1}:
q_{1}^{2} - S q_{1} - 2{,}4\times10^{-8} = 0,
onde S=1{,}0\times10^{-5}.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula quadrática. Para
q_{1}^{2} - S q_{1} - 2{,}4\times10^{-8} = 0
a fórmula dá
q_{1} = \frac{S \pm \sqrt{S^{2} + 4\cdot 2{,}4\times10^{-8}}}{2}.
Calculamos o discriminante passo a passo:
S^{2} = (1{,}0\times10^{-5})^{2} = 1{,}0\times10^{-10},
4\cdot 2{,}4\times10^{-8} = 9{,}6\times10^{-8},
D = S^{2} + 4\cdot 2{,}4\times10^{-8} = 1{,}0\times10^{-10} + 9{,}6\times10^{-8} = 9{,}61\times10^{-8}.
A raiz quadrada de D é
\sqrt{D} = \sqrt{9{,}61\times10^{-8}} = 3{,}1\times10^{-4}.
Agora as duas soluções são
q_{1} = \frac{1{,}0\times10^{-5} \pm 3{,}1\times10^{-4}}{2}.
Calculando cada uma:
  1. Com o sinal +:
q_{1} = \frac{1{,}0\times10^{-5} + 3{,}1\times10^{-4}}{2} = \frac{3{,}2\times10^{-4}}{2} = 1{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
  1. Com o sinal -:
q_{1} = \frac{1{,}0\times10^{-5} - 3{,}1\times10^{-4}}{2} = \frac{-3{,}0\times10^{-4}}{2} = -1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.

Passo 6

Interpretando as duas soluções: elas correspondem às duas maneiras de rotular as cargas (trocar q_{1} por q_{2}). Como o enunciado pede o caso em que uma é positiva e a outra negativa, escolhemos a solução onde q_{1} é positiva e q_{2} negativa. Assim:
  • Tomando q_{1}=1{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{C} (positiva), obtemos
q_{2}=S-q_{1}=1{,}0\times10^{-5}-1{,}6\times10^{-4}=-1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Convertendo para microcoulombs ( \mu\mathrm{C}, lembrando que 1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}):
q_{1}=160\\ \mu\mathrm{C},\qquad q_{2}=-150\\ \mu\mathrm{C}.
Cheque rápido (para ficar tranquilo): o produto é 1{,}6\times10^{-4}\cdot(-1{,}5\times10^{-4})=-2{,}4\times10^{-8}\\ \mathrm{C^{2}}, cujo valor absoluto é 2{,}4\times10^{-8}\\ \mathrm{C^{2}}, que reproduz F=24\\ \mathrm{N} pela lei de Coulomb — está consistente.

Resposta

q_{1}=1{,}6\times10^{-4}\\ \mathrm{C}=160\\ \mu\mathrm{C}
q_{2}=-1{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{C}=-150\\ \mu\mathrm{C}

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