A energia cinética de rotação, de maneira análoga ao caso da translação, é dada por K_{\text {rot }}=1 / 2 I \omega^{2}=1 / 2 L^{2} / I, onde I é o momento de inércia do corpo, \omega é sua velocidade angular e L= l \omega é o seu momento angular.
Baseando-se na equação que dá a quantização da magnitude do momento angular em termos de um número quântico inteiro l, escreva uma expressão que expresse a separação entre os dois níveis mais baixos de energia cinética rotacional de uma molécula. Marque a resposta que melhor represente essa expressão.
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar \omega / 2
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar \omega
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=L \omega / 2
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=L \omega
\bigcirc \Delta K_{\text {rot }}=\hbar L /(2 I)
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar L / I
\bigcirc \Delta K_{\text {rot }}=\hbar^{2} /(2 I)
\bigcirc \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar^{2} / I
\bigcirc Nenhuma das respostas

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever uma expressão para a separação entre os dois níveis mais baixos da energia cinética rotacional de uma molécula, usando a quantização do momento angular.
Informações dadas no enunciado (vou listar exatamente o que foi fornecido): \n
A energia cinética de rotação é \displaystyle K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}=\tfrac{L^{2}}{2I}. \n
Também foi dito que o momento angular é quantizado em termos de um número quântico inteiro l (ou seja, há uma relação entre L e l). \n
O objetivo concreto: calcular \Delta K_{\text{rot}} entre os dois menores níveis de energia rotacional (os dois menores valores possíveis de l).

Passo 2

Explicando a quantização do momento angular (uma mini-aula): \n
No modelo quântico do momento angular, o operador quadrado do momento angular tem autovalores que levam à relação
L^{2} = l(l+1)\hbar^{2},
onde \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar = \dfrac{h}{2\pi}) e l é um número quântico inteiro não-negativo: l=0,1,2,\dots. \n
O significado de cada símbolo: \hbar é uma constante (medida da escala quântica), l identifica o nível rotacional (quanto maior l, maior o módulo do momento angular), e L é a magnitude do momento angular. Esta é a fórmula padrão que vem da resolução dos autovalores do operador \hat{L}^2 na mecânica quântica.

Passo 3

Substituindo a quantização na expressão da energia: \n
Temos a expressão clássica dada para a energia rotacional em termos de L:
K_{\text{rot}}=\frac{L^{2}}{2I}.
Usando L^{2}=l(l+1)\hbar^{2}, obtemos os níveis de energia rotacional quantizados:
K_{l}=\frac{\hbar^{2}}{2I}\,l(l+1).
Aqui K_{l} é a energia rotacional associada ao número quântico l, e I é o momento de inércia da molécula (constante para a molécula considerada).

Passo 4

Identificando os dois níveis mais baixos: \n
Os menores valores inteiros possíveis para l são l=0 (nível fundamental) e l=1 (próximo nível). Então calculamos K_{0} e K_{1}. \n
Calcule K_{0}:
K_{0}=\frac{\hbar^{2}}{2I}\cdot 0\cdot(0+1)=0.
Calcule K_{1}:
K_{1}=\frac{\hbar^{2}}{2I}\cdot 1\cdot(1+1)=\frac{\hbar^{2}}{2I}\cdot 2=\frac{\hbar^{2}}{I}.
Note que fiz as contas passo a passo: para l=1 o produto l(l+1)=1\cdot2=2, que cancela o 2 do denominador.

Passo 5

Computando a separação entre os dois níveis mais baixos: \n
A diferença entre o primeiro excitado e o fundamental é
\Delta K_{\text{rot}}=K_{1}-K_{0}=\frac{\hbar^{2}}{I}-0=\frac{\hbar^{2}}{I}.
Portanto a separação (em energia) entre os dois níveis mais baixos é \displaystyle \frac{\hbar^{2}}{I}.

Passo 6

Interpretação e comparação com as alternativas: \n
A expressão obtida \displaystyle \frac{\hbar^{2}}{I} aparece exatamente entre as opções dadas como \displaystyle \Delta K_{\mathrm{rot}}=\hbar^{2} / I. Essa é, portanto, a alternativa correta.

Resposta

\displaystyle \Delta K_{\mathrm{rot}}=\frac{\hbar^{2}}{I}

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