A energia cinética de rotação, de maneira análoga ao caso da translação, é dada por
, onde
é o momento de inércia do corpo,
é sua velocidade angular e
é o seu momento angular.
Baseando-se na equação que dá a quantização da magnitude do momento angular em termos de um número quântico inteiro
, escreva uma expressão que expresse a separação entre os dois níveis mais baixos de energia cinética rotacional de uma molécula. Marque a resposta que melhor represente essa expressão.
Nenhuma das respostas
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever uma expressão para a separação entre os dois níveis mais baixos da energia cinética rotacional de uma molécula, usando a quantização do momento angular.
Informações dadas no enunciado (vou listar exatamente o que foi fornecido): \n
A energia cinética de rotação é . \n
Também foi dito que o momento angular é quantizado em termos de um número quântico inteiro (ou seja, há uma relação entre
e
). \n
O objetivo concreto: calcular entre os dois menores níveis de energia rotacional (os dois menores valores possíveis de
).
Informações dadas no enunciado (vou listar exatamente o que foi fornecido): \n
A energia cinética de rotação é
Também foi dito que o momento angular é quantizado em termos de um número quântico inteiro
O objetivo concreto: calcular
Passo 2
Explicando a quantização do momento angular (uma mini-aula): \n
No modelo quântico do momento angular, o operador quadrado do momento angular tem autovalores que levam à relação
No modelo quântico do momento angular, o operador quadrado do momento angular tem autovalores que levam à relação
onde
é a constante de Planck reduzida (
) e
é um número quântico inteiro não-negativo:
. \n
O significado de cada símbolo: é uma constante (medida da escala quântica),
identifica o nível rotacional (quanto maior
, maior o módulo do momento angular), e
é a magnitude do momento angular. Esta é a fórmula padrão que vem da resolução dos autovalores do operador
na mecânica quântica.
O significado de cada símbolo:
Passo 3
Substituindo a quantização na expressão da energia: \n
Temos a expressão clássica dada para a energia rotacional em termos de :
Temos a expressão clássica dada para a energia rotacional em termos de
Usando
, obtemos os níveis de energia rotacional quantizados:
Aqui
é a energia rotacional associada ao número quântico
, e
é o momento de inércia da molécula (constante para a molécula considerada).
Passo 4
Identificando os dois níveis mais baixos: \n
Os menores valores inteiros possíveis para são
(nível fundamental) e
(próximo nível). Então calculamos
e
. \n
Calcule :
Os menores valores inteiros possíveis para
Calcule
Calcule
:
Note que fiz as contas passo a passo: para
o produto
, que cancela o
do denominador.
Passo 5
Computando a separação entre os dois níveis mais baixos: \n
A diferença entre o primeiro excitado e o fundamental é
A diferença entre o primeiro excitado e o fundamental é
Portanto a separação (em energia) entre os dois níveis mais baixos é
.
Passo 6
Interpretação e comparação com as alternativas: \n
A expressão obtida aparece exatamente entre as opções dadas como
. Essa é, portanto, a alternativa correta.
A expressão obtida