Num condutor cilíndrico de raio b existe uma densidade de corrente j constante. Determine B para os pontos: r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um condutor cilíndrico com raio b onde a densidade de corrente j é constante. A missão aqui é encontrar o campo magnético B para pontos dentro do cilindro, ou seja, quando a distância r ao centro é menor que b ( r < b). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa por uma trajetória fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade de corrente j. Ela representa quanta corrente está passando por unidade de área perpendicular ao fluxo da corrente. Como j é constante, a corrente total I que passa pelo condutor é distribuída uniformemente.

Passo 3

Agora, para achar o campo magnético B em um ponto interno ao cilindro ( r < b), vamos aplicar a Lei de Ampère, que diz:
oint B cdot dell = mu0 Ienc
Onde:
  • oint B cdot dell é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado.
  • mu0 é a permeabilidade do vácuo.
  • Ienc é a corrente total que está dentro do caminho escolhido.

Passo 4

Vamos escolher uma trajetória circular de raio r (com r < b) concêntrica com o condutor para facilitar os cálculos, já que o campo magnético devido à simetria será tangencial e de módulo constante nessa trajetória.
Então, a integral de linha fica:
B cdot 2pi r = mu0 Ienc

Passo 5

Agora precisamos encontrar Ienc, a corrente que está dentro do raio r. Como a densidade de corrente j é constante, a corrente total I no condutor de raio b é:
I = j cdot pi b^2
A corrente dentro do raio r será proporcional à área dessa região:
Ienc = j cdot pi r^2

Passo 6

Substituindo Ienc na equação da Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 j cdot pi r^2
Agora, vamos resolver para B:
B = mu0 j cdot pi r^22pi r = mu0 j r2

Resposta

O campo magnético para pontos internos ao condutor ( r < b) é dado por:
B = mu0 j r2

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