1. Num óleo mineral dielétrico, com rigidez dielétrica de 15 \mathrm{MV} / \mathrm{m}, a função potencial é V(x)=x^{3}-6 x^{2}-3,1 x(M V). É possível haver rompimento deste dielétrico? Se sim, onde?

Passo 1

O enunciado nos dá um dielétrico com rigidez dielétrica de 15\\ \mathrm{MV/m} e potencial ao longo de uma direção x dado por
V(x)=x^{3}-6x^{2}-3,1x\quad(\mathrm{MV}).
Queremos saber se em algum ponto o campo elétrico excede 15\\ \mathrm{MV/m}, pois aí haveria rompimento. Para isso vamos calcular o campo elétrico E(x) e comparar seu módulo com a rigidez dielétrica.

Passo 2

O campo elétrico, na convenção unidimensional, é dado por
E(x) = -\frac{dV}{dx}.
Derivando V(x) temos
\frac{dV}{dx} = 3x^{2}-12x-3,1,
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E(x) = -\bigl(3x^{2}-12x-3,1\bigr) = -3x^{2} +12x +3,1\quad(\mathrm{MV/m}).

Passo 3

Para verificar onde \lvert E(x)\rvert atinge valores máximos (ou mínimos), encontramos os pontos críticos de E(x) resolvendo
\frac{dE}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}+12x+3,1\bigr) = -6x+12 = 0
o que dá
x = 2.
Esse é o ponto onde E(x) tem extremum. Vamos avaliar ali:

Passo 4

Calculemos E(2):
E(2) = -3\cdot 2^{2} + 12\cdot 2 + 3,1 = -12 +24 +3,1 = 15,1\quad(\mathrm{MV/m}).
Como 15,1 > 15, o campo excede a rigidez dielétrica. Logo há rompimento em torno desse ponto.

Passo 5

Para delimitar exatamente o intervalo em que \lvert E(x)\rvert\ge 15, resolvemos
E(x) = 15 \quad\Longrightarrow\quad -3x^{2}+12x+3,1 = 15
\Longrightarrow\quad -3x^{2}+12x -11,9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}-12x+11,9=0.
O discriminante vale
\Delta = (-12)^{2} - 4\cdot 3\cdot 11,9 = 144 - 142,8 = 1,2,
x = \frac{12 \pm \sqrt{1,2}}{2\cdot 3} = \frac{12 \pm 1,0954}{6} \approx 1,817\\ \text{e}\\\ 2,183.
Entre esses valores E(x) é maior que 15\\ \mathrm{MV/m}.

Passo 6

Conclusão: há rompimento do dielétrico sim, pois o campo máximo em x=2 alcança 15,1\\ \mathrm{MV/m}. O rompimento ocorre para
1,817\lesssim x \lesssim 2,183\quad(\mathrm{m}),
com o pico exatamente em x=2\\ \mathrm{m}.

Resposta

Sim. O dielétrico rompe onde
1{,}817\,\mathrm{m} \lesssim x \lesssim 2{,}183\,\mathrm{m},
com valor máximo de campo em x=2\\ \mathrm{m}.

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