1. Um feixe cilíndrico de elétrons com 0 \leq \rho \leq 1 \mathrm{~mm} tem uma densidade de carga \rho_{v}=-0,1 \cos (\pi \rho / 2) n C / \mathrm{mm}^{3} (onde \rho é dado em milímetros) e uma velocidade de 6 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} na direção +\mathrm{a}_{\mathrm{z}}. Encontre a corrente e a taxa de variação da densidade da carga.

Passo 1

O enunciado descreve um feixe cilíndrico de elétrons com raio máximo \rho=1\text{ mm}, densidade de carga
\rho_{v}(\rho) = -0{,}1\cos\!\bigl(\tfrac{\pi\rho}{2}\bigr)\\ \text{nC/mm}^3
(em que \rho está em milímetros) e velocidade
\mathbf{v} = 6\times10^6\,\mathbf{a}_z\\ \text{m/s}.
Pede-se (i) a corrente total I que esse feixe transporta pela seção transversal e (ii) a taxa de variação temporal da densidade de carga \partial\rho_v/\partial t.
Para isso vamos converter tudo para unidades SI, usar a densidade de corrente \mathbf{J}=\rho_v\mathbf{v} e a equação da continuidade \partial\rho_v/\partial t + \nabla\cdot\mathbf{J}=0.

Passo 2

Conversão para SI:
  • Como 1\text{ nC/mm}^3=1\text{ C/m}^3, tem-se
\rho_v(\rho) = -0{,}1\cos\!\bigl(\tfrac{\pi\rho}{2}\bigr)\\ \text{C/m}^3,
sendo \rho inicialmente em mm.
  • No cálculo do fluxo usamos coordenada radial em metros: r=\rho\cdot10^{-3}\,\text{m}.
  • A densidade de corrente é
\mathbf{J}(r) = \rho_v(r)\,\mathbf{v} = -0{,}1\cos\!\bigl(\tfrac{\pi\,(\rho/\text{mm})}{2}\bigr)\,6\times10^6\,\mathbf{a}_z \\ \text{A/m}^2.

Passo 3

Expressamos a corrente total pela seção circular S como
I = \iint_{S} \mathbf{J}\cdot\mathbf{a}_z\,dS = v \int_{0}^{R} \rho_v(r)\,2\pi r\,dr,
onde R=1\text{ mm}=10^{-3}\text{ m}. Em termos da variável adimensional s=\rho/\text{mm} (ou seja r=s\cdot10^{-3}), temos
dr = 10^{-3}ds,\quad r = 10^{-3}s,\quad dS = 2\pi r\,dr = 2\pi\,10^{-6}\,s\,ds.
Logo
I = v\int_{0}^{1} \Bigl[-0{,}1\cos\!\bigl(\tfrac{\pi s}{2}\bigr)\Bigr]\;2\pi\,(10^{-6}s)\,ds = -0{,}1\cdot2\pi\cdot10^{-6}\,v \int_{0}^{1}s\cos\!\bigl(\tfrac{\pi s}{2}\bigr)\,ds.
Substituindo v=6\times10^6, o fator fora da integral fica
-0{,}1\cdot2\pi\cdot10^{-6}\cdot6\times10^6 = -1{,}2\pi.

Passo 4

Calculemos a integral
\int_{0}^{1}s\cos\!\bigl(\tfrac{\pi s}{2}\bigr)\,ds.
Usando integração por partes com u=s, dv=\cos(\tfrac{\pi s}{2})ds, obtemos
\int_{0}^{1}s\cos\!\bigl(\tfrac{\pi s}{2}\bigr)\,ds =\frac{s\sin(\tfrac{\pi s}{2})}{\pi/2}\Big|_{0}^{1} + \frac{\cos(\tfrac{\pi s}{2})}{(\pi/2)^2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{\pi/2}+\frac{0-1}{(\pi/2)^2} = \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi^2}.

Passo 5

Substituindo na expressão de I:
I = -1{,}2\pi\Bigl(\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi^2}\Bigr) = -1{,}2\!\Bigl(2 - \frac{4}{\pi}\Bigr) = -2{,}4 + \frac{4{,}8}{\pi} \approx -0{,}872\\ \text{A}.
O sinal negativo indica que a corrente convencional está no sentido -\mathbf{a}_z (os elétrons se movem em +\mathbf{a}_z).

Passo 6

Para a taxa de variação \partial\rho_v/\partial t usamos a equação da continuidade:
\frac{\partial\rho_v}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J}=0.
Aqui \mathbf{J}=J_z(r)\,\mathbf{a}_z e J_z não depende de z, logo \nabla\cdot\mathbf{J}=\partial J_z/\partial z=0. Assim
\frac{\partial\rho_v}{\partial t}=0.

Resposta

A corrente total é
I\approx -0{,}872\\ \text{A}
(ou seja, 0{,}872 A no sentido -\mathbf{a}_z), e a taxa de variação temporal da densidade de carga é
\frac{\partial\rho_v}{\partial t}=0.

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