Um condutor filamentar onde circula uma corrente I tem a forma de um triângulo equilátero com lados de comprimento \ell. Calcule a intensidade de campo magnético no centro do triângulo.

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético no centro de um triângulo equilátero de lado \ell percorrido por uma corrente I. O método mais direto é usar a fórmula do campo gerado por um fio reto finito (Lei de Biot‐Savart) aplicado a cada lado do triângulo e, depois, somar vetorialmente as contribuições, aproveitando a simetria.

Passo 2

A contribuição de uma barra reta de comprimento L, percorrida por corrente I, no ponto P que está a uma distância perpendicular d do fio é
B_{\rm fio} =\frac{\mu_{0}\,I}{4\pi\,d}\,\bigl(\sin\alpha_{1}+\sin\alpha_{2}\bigr),
onde \alpha_{1} e \alpha_{2} são os ângulos que as retas de P até as extremidades do fio formam com a reta perpendicular ao fio passando por P.

Passo 3

No centro do triângulo equilátero de lado \ell, a distância até qualquer lado (apotema) é
d = \frac{\ell}{2\sqrt{3}}.
Por simetria, para cada lado o ponto vê as duas extremidades sob o mesmo ângulo \alpha, dado por
\sin\alpha =\frac{(\ell/2)}{\sqrt{d^{2}+(\ell/2)^{2}}} =\frac{\ell/2}{\ell/\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Substituindo em B_{\rm fio} e usando \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha, temos
B_{\rm um\;lado} =\frac{\mu_{0}I}{4\pi\,d}\,2\sin\alpha =\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,d}\,\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{\mu_{0}I\sqrt{3}}{4\pi\,d}.
Agora 1/d = 2\sqrt{3}/\ell, logo
B_{\rm um\;lado} =\frac{\mu_{0}I\sqrt{3}}{4\pi}\,\frac{2\sqrt{3}}{\ell} =\frac{3\mu_{0}I}{2\pi\,\ell}.

Passo 5

As três barras geram contribuições de mesmo módulo, todas perpendiculares ao plano do triângulo e somando‐se (pela regra da mão direita) no mesmo sentido. Assim,
B_{\rm total} =3\,B_{\rm um\;lado} =3\;\frac{3\mu_{0}I}{2\pi\,\ell} =\frac{9\,\mu_{0}\,I}{2\pi\,\ell}.

Resposta

B = \frac{9\,\mu_{0}\,I}{2\pi\,\ell}
apontando perpendicularmente ao plano do triângulo (sentido dado pela regra da mão direita).

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