Demonstre as equacoes:
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \vec{E}(x, t)=\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}(x, t)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a equação de onda unidimensional para o campo elétrico em vácuo, ou seja,
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\vec{E}(x,t) = \mu_{0}\varepsilon_{0} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\vec{E}(x,t).
Vamos usar as equações de Maxwell em vácuo e a identidade vetorial para obter essa relação.

Passo 2

Escrevemos as duas equações de Maxwell relevantes em vácuo (sem cargas livres e sem correntes):
\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},
\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

Passo 3

Aplicamos o rotacional na primeira equação (Faraday):
\nabla \times \bigl(\nabla \times \vec{E}\bigr) = -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla \times \vec{B}\bigr).
No lado direito substituímos a segunda equação de Maxwell:
\nabla \times \bigl(\nabla \times \vec{E}\bigr) = -\mu_{0}\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.

Passo 4

Usamos a identidade vetorial
\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^{2}\vec{E}.
Em vácuo e sem cargas temos \nabla \cdot \vec{E}=0. Logo
\nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = -\,\nabla^{2}\vec{E}.
Substituindo na equação anterior resulta
-\,\nabla^{2}\vec{E} = -\,\mu_{0}\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^{2}\vec{E} = \mu_{0}\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}.

Passo 5

A relação acima é a equação de onda vetorial geral em três dimensões para \vec{E}. Se assumirmos propagação apenas na direção x, o operador laplaciano se reduz a
\nabla^{2}\vec{E} = \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial x^{2}}.
Portanto obtemos exatamente a forma unidimensional desejada.

Resposta

\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\vec{E}(x,t) = \mu_{0}\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\vec{E}(x,t).

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