Um condutor metálico tem a forma de um cilindro muito longo, de raio a. No seu interior existe uma cavidade, também cilíndrica, de raio b, com eixo coincidente com o condutor.
a) Calcule o campo magnético, em todo espaço, criado poe este condutor quando ele é percorrido por uma corrente I, distribuída uniformemente por sua seção transversal.
b) Faça um gráfico B \times r, onde r é a distância ao eixo do sistema.

Passo 1

O enunciado descreve um condutor cilíndrico de raio a com uma cavidade cilíndrica coaxial de raio b. Ele é percorrido por uma corrente constante I distribuída uniformemente na seção annular (entre r=b e r=a). Precisamos usar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético B(r) em todas as regiões (dentro da cavidade, no material e fora do condutor) e depois esboçar o gráfico de B em função de r.

Passo 2

Calculemos a densidade de corrente volumétrica \,j. A área da seção condutora é \pi(a^2 - b^2), logo
j = \frac{I}{\pi\bigl(a^2 - b^2\bigr)}.

Passo 3

Região I: 0 \le r < b.
Dentro da cavidade não há corrente interna ao círculo de raio r, então, pela Lei de Ampère,
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}\,I_{\rm encl} \quad\Longrightarrow\quad I_{\rm encl}=0 \quad\Longrightarrow\quad B(r)=0.

Passo 4

Região II: b < r < a.
O valor de corrente encerrada por uma amperiana de raio r é
I_{\rm encl} = j \times \pi\bigl(r^{2}-b^{2}\bigr) = \frac{I}{\pi(a^2 - b^2)}\;\pi\bigl(r^{2}-b^{2}\bigr) = I\,\frac{r^{2}-b^{2}}{a^2 - b^2}.
Pela Lei de Ampère, \displaystyle B(r)\,2\pi r = \mu_{0}\,I_{\rm encl}, daí
B(r) = \frac{\mu_{0}}{2\pi r}\;I\,\frac{r^{2}-b^{2}}{a^2 - b^2} = \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,(a^2 - b^2)}\;\frac{r^{2}-b^{2}}{r}.

Passo 5

Região III: r > a.
Toda corrente I está dentro do raio r, então
B(r)\,2\pi r = \mu_{0}\,I \quad\Longrightarrow\quad B(r) = \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}.

Passo 6

Gráfico qualitativo de B versus r:
  • Para 0\le r\le b, B=0.
  • Para b<r<a, B sobe de zero até \displaystyle\frac{\mu_{0}I}{2\pi a} segundo a lei
    \displaystyle B(r)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi(a^2 - b^2)}\,\frac{r^2-b^2}{r}.
  • Para r\ge a, B(r) decai como 1/r, isto é,
    \displaystyle B(r)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\,r}.

Resposta

B(r)=\begin{cases} 0, & 0 \le r \le b,\\[6pt] \displaystyle \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,(a^2 - b^2)}\;\frac{r^{2}-b^{2}}{r}, & b < r < a,\\[8pt] \displaystyle \frac{\mu_{0}\,I}{2\pi\,r}, & r \ge a. \end{cases}
Esboço do gráfico de B versus r:
\begin{array}{c} \text{B} \\[3pt] \bigl|\quad\quad\quad\diagup\diagdown\quad\sim\quad\diagdown\bigr.\\\ \quad\;\;0\quad\underbrace{\overbrace{\rule{1.5cm}{0pt}}^{r=b}\overbrace{\rule{1.5cm}{0pt}}^{r=a}}_{\text{cavidade}\;\; \text{material}\;\; \text{externo}} \quad r
\;B=0 em r<b; cresce até r=a; decai como 1/r para r>a.!]

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