Um resistor de 15 k \Omega e um capacitor são ligados em série, e uma diferença de potencial de 12 V é aplicada bruscamente ao conjunto. A diferença de potencial entre os terminais do
capacitor aumenta para 5,0 \mathrm{~V} em 1,20 \mu \mathrm{~s}. (a) Calcule a constante de tempo do circuito. (b) Determine a capacitância C do capacitor. R.: 2,41 \mu s e 161 p F

Passo 1

O enunciado descreve um resistor de 15\text{ k}\Omega em série com um capacitor, submetidos a um degrau de tensão de 12\text{ V}. Depois de t=1{,}20\\ \mu\text{s}, a tensão no capacitor é 5{,}0\text{ V}. O conteúdo aqui é o regime transitório de carga em um circuito RC, em que precisamos usar a expressão para a tensão no capacitor durante a carga e depois relacionar \tau=RC.

Passo 2

Para um circuito RC em série submetido a um degrau de tensão V_0, a tensão no capacitor v_C(t) é dada por
v_C(t)=V_0\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr),
onde \tau=RC é a constante de tempo.

Passo 3

Substituindo V_0=12\text{ V} e v_C(1{,}20\\ \mu\text{s})=5{,}0\text{ V}, obtemos
5{,}0 = 12\bigl(1 - e^{-1{,}20\times10^{-6}/\tau}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad e^{-1{,}20\times10^{-6}/\tau} = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}.
Tomando logaritmo,
-\frac{1{,}20\times10^{-6}}{\tau} = \ln\!\Bigl(\frac{7}{12}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \tau = -\frac{1{,}20\times10^{-6}}{\ln\!\bigl(7/12\bigr)}.

Passo 4

Calculando numericamente,
\ln\!\bigl(\tfrac{7}{12}\bigr)\approx -0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \tau \approx \frac{1{,}20\times10^{-6}}{0{,}5} = 2{,}41\times10^{-6}\text{ s} = 2{,}41\\ \mu\text{s}.

Passo 5

Como \tau=RC, a capacitância é
C = \frac{\tau}{R} = \frac{2{,}41\times10^{-6}}{15\times10^{3}} = 1{,}61\times10^{-10}\text{ F} = 161\text{ pF}.

Resposta

(a) \tau = 2{,}41\\ \mu\text{s}.
(b) C = 161\\ \text{pF}.

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