Calcule a autoindutância por unidade de comprimento de um longo solenoide de raio R, em que n espiras por comprimento é sua densidade linear de espiras.
a) \frac{L}{l}=\mu_{0} n^{2}\left(\pi R^{2}\right)
b) \frac{L}{l}=\mu_{0} n\left(\pi R^{2}\right)
c) \frac{L}{l}=\mu_{0} n^{2}(2 \pi R)
d) \frac{L}{l}=\mu_{0} n^{2} /\left(\pi R^{2}\right)
e) \frac{L}{l}=0

Passo 1

O enunciado pede a autoindutância por unidade de comprimento de um solenoide longo de raio R e densidade linear de espiras n. O conteúdo a usar envolve o campo magnético interno de um solenoide, o cálculo do fluxo magnético por espira e a definição de indutância L a partir do fluxo ligado.

Passo 2

Usamos a lei de Ampère para o campo dentro de um solenoide longo. Para uma corrente I e densidade de espiras n,
B = \mu_{0}\,n\,I

Passo 3

O fluxo magnético que atravessa cada espira (área \pi R^2) é
\Phi = B \times \text{área} = \mu_{0}\,n\,I \;\pi R^{2}á

Passo 4

O acoplamento total de fluxo (fluxo ligado) é a soma dos fluxos em todas as N espiras. Como N = n\,l, temos
\Lambda = N\,\Phi = (n\,l)\,\bigl(\mu_{0}\,n\,I\,\pi R^{2}\bigr)

Passo 5

A indutância L satisfaz L = \Lambda/I. Logo,
L = \frac{(n\,l)\,\mu_{0}\,n\,I\,\pi R^{2}}{I} = \mu_{0}\,n^{2}\,\pi R^{2}\,l
e, por unidade de comprimento,
\frac{L}{l} = \mu_{0}\,n^{2}\,\pi R^{2}

Resposta

a) \displaystyle \frac{L}{l} = \mu_{0}\,n^{2}\,\bigl(\pi R^{2}\bigr)

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