Um cone circular reto de altura H e raio R deverá ser seccionado por um plano a pararelo à base. A secção determina dois sólidos de mesmo volume. Qual a distância entre a e o plano da base do cone?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cone circular reto com altura $ H $ e raio da base $ R $. A gente precisa cortar esse cone com um plano que é paralelo à base, de modo que os dois pedaços resultantes tenham o mesmo volume. Nosso objetivo é descobrir qual a distância $ a $ entre o plano de corte e a base do cone. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria dos cones e propriedades de volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cone. A fórmula é:
onde $ V $ é o volume, $ R $ é o raio da base e $ H $ é a altura.
Passo 3
Quando cortamos o cone com um plano paralelo à base, obtemos dois sólidos: uma parte menor em cima (que também é um cone) e uma parte embaixo (um tronco de cone). Como os volumes são iguais, cada parte vai ter metade do volume total. Então, queremos que o volume da parte de baixo seja:
Passo 4
Vamos chamar a altura da parte de baixo de $ a $ e o raio correspondente de $ r $. Como o corte é paralelo, os dois cones são semelhantes, o que significa que as proporções são iguais:
Ou seja,
Passo 5
Agora, o volume da parte de baixo (o tronco de cone) pode ser calculado como a diferença entre o volume do cone original e o volume do cone menor de cima:
Mas sabemos que $ V_{baixo} = \frac{V}{2} $, então:
Passo 6
Como o cone de cima é semelhante ao cone original, seu volume é proporcional ao cubo da razão de semelhança:
E sabemos que $ V_{cima} = \frac{V}{2} $, então:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação para encontrar $ a $:
Isolando $ a $:
Resposta
A distância entre o plano de corte e a base do cone é: