O cone é feito de madeira com densidade de 650 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Determine a tensão na corda AB se o cone estiver submerso na água à profundidade mostrada. Essa força aumentará, diminuirá ou permanecerá igual se a corda for encurtada? Por qué?

Passo 1

Vou explicar claramente o que o enunciado pede e quais informações iremos usar da figura. O enunciado pergunta: determinar a tensão na corda AB quando o cone de madeira está submerso na água, e dizer se essa força aumentará, diminuirá ou permanecerá igual se a corda for encurtada, justificando por quê.
Da figura extraio os seguintes dados (estou dizendo explicitamente que peguei estes valores da imagem; a qualidade da imagem é baixa, então não tenho 100% de certeza, mas é o que parece): a altura do cone é h=2,0\\ \mathrm{m} e o diâmetro da base é 1,0\\ \mathrm{m}, logo o raio da base é R=0,5\\ \mathrm{m}. A densidade da madeira é dada como \rho_{\text{madeira}}=650\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Tomarei a densidade da água como \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Se algum desses valores da figura estiver errado (por exemplo, se h ou R forem diferentes), avise: a ideia do método é a mesma, muda só o número final.

Passo 2

Princípio físico essencial (aulas rápidas e diretas): a força de empuxo (empuxo de Arquimedes) é igual ao peso do fluido deslocado. Ou seja,
E=\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g,á
onde E é o empuxo (força para cima), \rho_{\text{água}}á é a densidade da água, V_{\text{sub}} é o volume do sólido submerso (aqui, o volume total do cone se ele estiver totalmente submerso) e g é a aceleração da gravidade.
O peso do cone é
W=\rho_{\text{madeira}}\,V\,g,
onde V é o volume do cone (se o cone estiver totalmente submerso, V_{\text{sub}}=V).
Equilíbrio de forças verticais (considerando que a corda segura o cone e que não há outras forças verticais): a soma das forças verticais deve ser zero. Usando sentido positivo para cima:
E - W - T = 0,
onde T é a tensão na corda (se o empuxo é maior que o peso, a corda puxa o cone para baixo e T é positiva e igual a E-W). Daí
T = E - W = (\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{madeira}})\,V\,g.á
Observe que, portanto, a tensão depende apenas da diferença de densidades, do volume submerso V e de g.

Passo 3

Fórmula do volume de um cone (aula curta): o volume de um cone de altura h e raio de base R é
V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h.
Aqui, com os valores que extraí da figura: R=0,5\\ \mathrm{m} e h=2,0\\ \mathrm{m}. Vamos calcular V passo a passo, sem pular etapas:
Calcule R^{2}=(0,5)^{2}=0,25\\ \mathrm{m^{2}}.
Então
V=\frac{1}{3}\pi(0,25)(2,0)=\frac{1}{3}\pi(0,5)=\frac{\pi}{6}\\ \mathrm{m^{3}}.
Se quiser aproximar numericamente, use \pi\approx 3,1416:
V\approx\frac{3,1416}{6}\approx 0,5236\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

Agora calculamos a tensão usando a fórmula deduzida no Passo 2:
T=(\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{madeira}})\,V\,g.á
Substituindo \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á, \rho_{\text{madeira}}=650\\ \mathrm{kg/m^{3}}, V\approx 0,5236\\ \mathrm{m^{3}} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
Primeiro a diferença de densidades:
\rho_{\text{água}}-\rho_{\text{madeira}}=1000-650=350\\ \mathrm{kg/m^{3}}.á
Agora multiplicando:
T\approx 350\times 0,5236\times 9,81.
Calcule passo a passo: 0,5236\times 9,81\approx 5,136. Então
T\approx 350\times 5,136\approx 1797{,}6\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente, T\approx 1{,}80\times 10^{3}\\ \mathrm{N} (ou 1800\\ \mathrm{N}).

Passo 5

Interpretação da segunda pergunta: “Essa força aumentará, diminuirá ou permanecerá igual se a corda for encurtada? Por quê?”
Explicação didática: a tensão T que calculamos depende da diferença entre empuxo e peso, e o empuxo depende somente do volume de fluido deslocado (ou seja, do volume submerso do cone) e da densidade do fluido, não da “comprimento da corda” em si. Portanto:
  • Se eu encurtar a corda sem alterar o volume submerso do cone (ou seja, sem mudar a posição do cone na água), o empuxo e o peso permanecem os mesmos, logo a tensão permanece igual.
  • Se, por outro lado, encurtar a corda puxando o cone para cima de modo que uma parte do cone saia da água (reduzindo V_{\text{sub}}), o empuxo diminuirá e, consequentemente, a tensão T=E-W também diminuirá. (Se a encurtamento for grande o suficiente para que o empuxo passe a ser menor que o peso, a corda poderia até passar a ficar frouxa; nesse caso a situação muda qualitativamente.)
    Resumo curto e amistoso: encurtar a corda por si só não muda T — o que importa é se o encurtamento muda o volume submerso. Se o volume submerso não muda, a tensão permanece igual; se o volume submerso diminui, a tensão diminui.

Resposta

T\approx 1{,}80\times 10^{3}\\ \mathrm{N}
A tensão permanecerá igual se o encurtamento da corda não alterar o volume submerso do cone; se o encurtamento fizer parte do cone emergir (reduzir V_{\text{sub}}), então a tensão diminuirá.

Exercícios relacionados