O cone é feito de madeira com densidade de
. Determine a tensão na corda AB se o cone estiver submerso na água à profundidade mostrada. Essa força aumentará, diminuirá ou permanecerá igual se a corda for encurtada? Por qué?
Passo 1
Vou explicar claramente o que o enunciado pede e quais informações iremos usar da figura. O enunciado pergunta: determinar a tensão na corda
quando o cone de madeira está submerso na água, e dizer se essa força aumentará, diminuirá ou permanecerá igual se a corda for encurtada, justificando por quê.
Da figura extraio os seguintes dados (estou dizendo explicitamente que peguei estes valores da imagem; a qualidade da imagem é baixa, então não tenho 100% de certeza, mas é o que parece): a altura do cone é e o diâmetro da base é
, logo o raio da base é
. A densidade da madeira é dada como
. Tomarei a densidade da água como
e
.
Se algum desses valores da figura estiver errado (por exemplo, se ou
forem diferentes), avise: a ideia do método é a mesma, muda só o número final.
Da figura extraio os seguintes dados (estou dizendo explicitamente que peguei estes valores da imagem; a qualidade da imagem é baixa, então não tenho 100% de certeza, mas é o que parece): a altura do cone é
Se algum desses valores da figura estiver errado (por exemplo, se
Passo 2
Princípio físico essencial (aulas rápidas e diretas): a força de empuxo (empuxo de Arquimedes) é igual ao peso do fluido deslocado. Ou seja,
onde
é o empuxo (força para cima),
é a densidade da água,
é o volume do sólido submerso (aqui, o volume total do cone se ele estiver totalmente submerso) e
é a aceleração da gravidade.
O peso do cone é
O peso do cone é
onde
é o volume do cone (se o cone estiver totalmente submerso,
).
Equilíbrio de forças verticais (considerando que a corda segura o cone e que não há outras forças verticais): a soma das forças verticais deve ser zero. Usando sentido positivo para cima:
Equilíbrio de forças verticais (considerando que a corda segura o cone e que não há outras forças verticais): a soma das forças verticais deve ser zero. Usando sentido positivo para cima:
onde
é a tensão na corda (se o empuxo é maior que o peso, a corda puxa o cone para baixo e
é positiva e igual a
). Daí
Observe que, portanto, a tensão depende apenas da diferença de densidades, do volume submerso
e de
.
Passo 3
Fórmula do volume de um cone (aula curta): o volume de um cone de altura
e raio de base
é
Aqui, com os valores que extraí da figura:
e
. Vamos calcular
passo a passo, sem pular etapas:
Calcule .
Então
Calcule
Então
Se quiser aproximar numericamente, use
:
Passo 4
Agora calculamos a tensão usando a fórmula deduzida no Passo 2:
Substituindo
,
,
e
:
Primeiro a diferença de densidades:
Primeiro a diferença de densidades:
Agora multiplicando:
Calcule passo a passo:
. Então
Arredondando razoavelmente,
(ou
).
Passo 5
Interpretação da segunda pergunta: “Essa força aumentará, diminuirá ou permanecerá igual se a corda for encurtada? Por quê?”
Explicação didática: a tensão que calculamos depende da diferença entre empuxo e peso, e o empuxo depende somente do volume de fluido deslocado (ou seja, do volume submerso do cone) e da densidade do fluido, não da “comprimento da corda” em si. Portanto:
Explicação didática: a tensão
- Se eu encurtar a corda sem alterar o volume submerso do cone (ou seja, sem mudar a posição do cone na água), o empuxo e o peso permanecem os mesmos, logo a tensão permanece igual.
- Se, por outro lado, encurtar a corda puxando o cone para cima de modo que uma parte do cone saia da água (reduzindo
), o empuxo diminuirá e, consequentemente, a tensão também diminuirá. (Se a encurtamento for grande o suficiente para que o empuxo passe a ser menor que o peso, a corda poderia até passar a ficar frouxa; nesse caso a situação muda qualitativamente.)
Resumo curto e amistoso: encurtar a corda por si só não muda— o que importa é se o encurtamento muda o volume submerso. Se o volume submerso não muda, a tensão permanece igual; se o volume submerso diminui, a tensão diminui.
Resposta
A tensão permanecerá igual se o encurtamento da corda não alterar o volume submerso do cone; se o encurtamento fizer parte do cone emergir (reduzir