1. Um cone sólido com raio 2 cm e altura 4 cm é submerso com a ponta para baixo em um cilindro circular reto de raio 4 cm e altura 10 cm . Suponha que o cilindro tem água pela metade e que o cone é submerso a uma taxa de 2 cm / s. Com que velocidade o nível da água estará subindo no cilindro no instante em que o cone fica completamente submerso?

Passo 1

Resumindo o enunciado: um cone sólido de raio 2,cm e altura 4,cm é introduzido com a ponta para baixo num cilindro de raio 4,cm cuja água está inicialmente à altura de 5,cm (metade da sua altura total de 10,cm). O cone desce com velocidade constante de 2,cm/s. Pede-se a velocidade com que o nível da água y(t) sobe no instante em que o cone fica completamente submerso.
Conteúdo: problemas de taxas relacionadas (related rates) envolvendo volumes e deslocamento de água.

Passo 2

Definimos:
h(t) = altura da parte do cone submersa na água (em cm), medida a partir da ponta;
y(t) = altura do nível de água no cilindro (em cm).
Quando o cone desce, a parcela submersa é um “sub-cone” de altura h e raio proporcional r = tfrac24,h = tfrach2.

Passo 3

Volume do sub-cone submerso:
Vrm sub(h) = 13,pi,r^2,h = 13,pil(h2r)^!2h = pi,h^312

Passo 4

Relação entre y e Vrm sub: o volume até a altura y no cilindro de área de base Arm cyl=picdot4^2=16pi contém água mais o volume do cone submerso. Como a quantidade de água não muda,
Arm cyl,y(t);=;Arm cyl,y0;+;Vrm sub(h),
once y0=5,cm. Logo
y(t)=5+Vrm sub(h)16pi

Passo 5

Derivando em relação ao tempo t:
dydt =116pi,dVrm subdt
Mas
dVrm subdt =ddtl(pi,h^312r) =pi12,3h^2,dhdt =pi,h^24,dhdt
E como a velocidade de descida do cone é tfracdhdt=2,cm/s, então
dVrm subdt =pi,h^24cdot2 =pi,h^22

Passo 6

No instante em que o cone fica completamente submerso, h=4,cm. Assim
dVrm subdt l|h=4 =picdot4^22 =16pi2 =8pi
Portanto
dydt =116pi,8pi =8pi16pi =12 cm/s

Resposta

A altura da água está subindo à razão de 0,5 cm/s quando o cone fica totalmente submerso.

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