Um cone sólido com raio 2 cm e altura 4 cm é submerso com a ponta para baixo em um cilindro circular reto de raio 4 cm e altura 10 cm . Suponha que o cilindro tem água pela metade e que o cone é submerso a uma taxa de . Com que velocidade o nível da água estará subindo no cilindro no instante em que o cone fica completamente submerso?
Passo 1
Resumindo o enunciado: um cone sólido de raio ,cm e altura ,cm é introduzido com a ponta para baixo num cilindro de raio ,cm cuja água está inicialmente à altura de ,cm (metade da sua altura total de ,cm). O cone desce com velocidade constante de ,cm/s. Pede-se a velocidade com que o nível da água sobe no instante em que o cone fica completamente submerso.
Conteúdo: problemas de taxas relacionadas (related rates) envolvendo volumes e deslocamento de água.
Passo 2
Definimos: altura da parte do cone submersa na água (em cm), medida a partir da ponta; altura do nível de água no cilindro (em cm).
Quando o cone desce, a parcela submersa é um “sub-cone” de altura e raio proporcional .
Passo 3
Volume do sub-cone submerso:
Passo 4
Relação entre e : o volume até a altura no cilindro de área de base contém água mais o volume do cone submerso. Como a quantidade de água não muda,
once ,cm. Logo
Passo 5
Derivando em relação ao tempo :
Mas
E como a velocidade de descida do cone é ,cm/s, então
Passo 6
No instante em que o cone fica completamente submerso, ,cm. Assim
Portanto
dydt =116pi,8pi =8pi16pi =12 cm/s
Resposta
A altura da água está subindo à razão de 0,5 cm/s quando o cone fica totalmente submerso.