Num jogo da mega sena são sorteados 6 números entre sessenta possibilidades. Para cada sorteio não importa a ordem em que as bolas são sorteadas. Os possíveis números sorteados estão no conjunto
.
(1,5 Ponto) a) Calcule a probabilidade de que todos números sorteados pertençam a uma mesma dezena? Por exemplo:
e etc. Para tanto, primeiro calcule o número de sorteios em que isso ocorre e divida pelo número total de sorteios possíveis na mega sena, lembrando sempre que a ordem dos números sorteados não importa. (Tome cuidado. Na primeira dezena temos 9 números:
, nas demais temos 10 números, por exemplo:
).
(1 Ponto) b) Suponha que todos os números sorteados pertençam a
. Quantas sorteios (a ordem em que os números foram sorteados não importa!) são possíveis em que no final obtemos 4 números em sequência e dois fora da sequência. Por exemplo:
e etc. (Dica: Divida entre os casos em que temos sequências de 4 números começando com 50 ou 56 e os casos em que temos sequências começando com
ou 55 )
(1,5 Ponto) a) Calcule a probabilidade de que todos números sorteados pertençam a uma mesma dezena? Por exemplo:
(1 Ponto) b) Suponha que todos os números sorteados pertençam a
Passo 1
O enunciado divide as
bolas em “dezenas” de números consecutivos e pede em (a) a probabilidade de sair uma combinação de
bolas todas dentro da mesma dezena, e em (b) o número de combinações de
bolas dentro da dezena
que contenham exatamente
em sequência e
“fora” dessa sequência (ou seja, sem estender para
consecutivos). Vamos usar contagens de combinações (
).
Passo 2
O número total de sorteios possíveis na mega-sena (sem considerar ordem) é
Passo 3
Para (a), identificamos as dezenas válidas para
bolas:
– A primeira dezena tem elementos,
.
– As cinco dezenas seguintes têm elementos cada,
.
A dezena não comporta
bolas.
O número de sorteios com todas as bolas numa mesma dezena é
– A primeira dezena tem
– As cinco dezenas seguintes têm
A dezena
O número de sorteios com todas as
Passo 4
Logo, a probabilidade pedida em (a) é
Passo 5
Em (b) trabalhamos só com a dezena
(
números). Queremos escolher
de modo que haja exatamente
consecutivos e os
restantes não prolonguem a sequência para
.
Passo 6
Uma sequência de
consecutivos pode começar em
ou
, total de
posições de início.
Passo 7
Se a sequência começa em
ou em
, ela fica numa das extremidades. Há apenas um número adjacente proibido (que alongaria para
), sobrando
números permitidos para os
“fora”. Logo, para cada caso de extremidade há
escolhas, e como são
casos de extremidade, totalizando
.
Passo 8
Se a sequência começa em
ou
, ela é “interior” e tem dois vizinhos proibidos (antes e depois), sobrando
números permitidos. Para cada um desses
casos há
escolhas, totalizando
.
Passo 9
Somando extremidades e interiores, o número de sorteios em (b) é
Resposta
(a)
(b) sorteios possíveis.
(b)