Num jogo da mega sena são sorteados 6 números entre sessenta possibilidades. Para cada sorteio não importa a ordem em que as bolas são sorteadas. Os possíveis números sorteados estão no conjunto 1,2,3, ldots, 58,59,60.
(1,5 Ponto) a) Calcule a probabilidade de que todos números sorteados pertençam a uma mesma dezena? Por exemplo: 1,2,3,4,5,6,32,33,35,36,38,39,50,51,56,57,58,59 e etc. Para tanto, primeiro calcule o número de sorteios em que isso ocorre e divida pelo número total de sorteios possíveis na mega sena, lembrando sempre que a ordem dos números sorteados não importa. (Tome cuidado. Na primeira dezena temos 9 números: 1, ldots, 9, nas demais temos 10 números, por exemplo: 20,21, ldots, 29 ).
(1 Ponto) b) Suponha que todos os números sorteados pertençam a 50,51,52, ldots, 59. Quantas sorteios (a ordem em que os números foram sorteados não importa!) são possíveis em que no final obtemos 4 números em sequência e dois fora da sequência. Por exemplo: 50,51,52,53,55,56,50,51,52,53,55,57,50,53,54,55,56,58,50,51,56,57,58,59 e etc. (Dica: Divida entre os casos em que temos sequências de 4 números começando com 50 ou 56 e os casos em que temos sequências começando com 51,52,53,54 ou 55 )

Passo 1

O enunciado divide as 60 bolas em “dezenas” de números consecutivos e pede em (a) a probabilidade de sair uma combinação de 6 bolas todas dentro da mesma dezena, e em (b) o número de combinações de 6 bolas dentro da dezena 50,51,dots,59 que contenham exatamente 4 em sequência e 2 “fora” dessa sequência (ou seja, sem estender para 5 consecutivos). Vamos usar contagens de combinações ( binomnk).

Passo 2

O número total de sorteios possíveis na mega-sena (sem considerar ordem) é
Nrm total ;=;binom606

Passo 3

Para (a), identificamos as dezenas válidas para 6 bolas:
– A primeira dezena tem 9 elementos, 1,dots,9.
– As cinco dezenas seguintes têm 10 elementos cada, 10,dots,19,dots,50,dots,59.
A dezena 60 não comporta 6 bolas.
O número de sorteios com todas as 6 bolas numa mesma dezena é
Nrm fav ;=;binom96;+;5;binom106

Passo 4

Logo, a probabilidade pedida em (a) é
P = Nrm favNrm total =binom96+5,binom106binom606

Passo 5

Em (b) trabalhamos só com a dezena 50,51,dots,59 ( 10 números). Queremos escolher 6 de modo que haja exatamente 4 consecutivos e os 2 restantes não prolonguem a sequência para 5.

Passo 6

Uma sequência de 4 consecutivos pode começar em 50,51,52,53,54,55 ou 56, total de 7 posições de início.

Passo 7

Se a sequência começa em 50 ou em 56, ela fica numa das extremidades. Há apenas um número adjacente proibido (que alongaria para 5), sobrando 10-(4+1)=5 números permitidos para os 2 “fora”. Logo, para cada caso de extremidade há
binom52=10
escolhas, e como são 2 casos de extremidade, totalizando 2times10=20.

Passo 8

Se a sequência começa em 51,52,53,54 ou 55, ela é “interior” e tem dois vizinhos proibidos (antes e depois), sobrando 10-(4+2)=4 números permitidos. Para cada um desses 5 casos há
binom42=6
escolhas, totalizando 5times6=30.

Passo 9

Somando extremidades e interiores, o número de sorteios em (b) é
Nb = 20 + 30 = 50

Resposta

(a) binom96+5,binom106binom606
(b) 50 sorteios possíveis.

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