O cone z^2=x^2+y^2 é cortado pelo plano z=1+x+y. Determine os pontos da interseção entre o plano e o cone que estão mais perto e mais longe da origem.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos da curva de interseção entre o cone de equação z^2=x^2+y^2 e o plano z=1+x+y que minimizam e maximizam a distância até a origem. O conteúdo envolve interseção de superfícies e otimização de funções com restrições.

Passo 2

Substituímos z=1+x+y em z^2=x^2+y^2 para caracterizar a curva no plano (x,y). Assim temos:
(1+x+y)^2 = x^2+y^2
Expandindo e simplificando obtemos
xy+x+y=-tfrac12

Passo 3

Agora escrevemos o quadrado da distância até a origem em função de x,y:
r^2 = x^2+y^2+z^2 = x^2+y^2+(1+x+y)^2
Expandindo e usando u=x+y e a restrição xy=-tfrac12-u, chega-se a
r^2 = 2(u+1)^2

Passo 4

Precisamos então otimizar f(u)=2(u+1)^2 sujeito à existência de x,y reais que satisfaçam x+y=u e xy=-tfrac12-u. A condição de realismo é
igl(u^2+4u+2r)>=0, 
cuja solução é u<= -2-raiz2 ou u>= -2+raiz2.

Passo 5

O valor de |u+1| fica mínimo em u=-2+raiz2 e máximo em u=-2-raiz2. Para cada caso, resolvemos
t^2 - ut -l(tfrac12+ur)=0
e achamos que em ambas as fronteiras há raiz dupla com x=y.

Passo 6

Para u=-2+raiz2 obtemos
x=y=raiz2-22,
z=1+u=raiz2-1,
e distância rmin=2-raiz2.

Passo 7

Para u=-2-raiz2 obtemos
x=y=-2+raiz22,
z=1+u=-1-raiz2,
e distância rmax=2+raiz2.

Resposta

P_{min}=(\tfrac{\sqrt2-2}2,\tfrac{\sqrt2-2}2,\sqrt2-1)\quade\quad P_{max}=(-\tfrac{2+\sqrt2}2,-\tfrac{2+\sqrt2}2,-1-\sqrt2).

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