O cone
é cortado pelo plano
. Determine os pontos da interseção entre o plano e o cone que estão mais perto e mais longe da origem.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos da curva de interseção entre o cone de equação
e o plano
que minimizam e maximizam a distância até a origem. O conteúdo envolve interseção de superfícies e otimização de funções com restrições.
Passo 2
Substituímos
em
para caracterizar a curva no plano
. Assim temos:
Expandindo e simplificando obtemos
Passo 3
Agora escrevemos o quadrado da distância até a origem em função de
:
Expandindo e usando
e a restrição
, chega-se a
Passo 4
Precisamos então otimizar
sujeito à existência de
reais que satisfaçam
e
. A condição de realismo é
cuja solução é
ou
.
Passo 5
O valor de
fica mínimo em
e máximo em
. Para cada caso, resolvemos
e achamos que em ambas as fronteiras há raiz dupla com
.
Passo 6
Para
obtemos
e distância
.
Passo 7
Para
obtemos
e distância
.
Resposta
P_{min}=(\tfrac{\sqrt2-2}2,\tfrac{\sqrt2-2}2,\sqrt2-1)\quade\quad P_{max}=(-\tfrac{2+\sqrt2}2,-\tfrac{2+\sqrt2}2,-1-\sqrt2).