A questão é sobre como resolver a equação de onda unidimensional
: Suponha que uma corda de guitarra comece com velocidade zero
de uma função de chapéu:
para
e
para
. Encontre os coeficientes de Fourier
os dois primeiros termos diferentes de zero da série de Fourier para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda unidimensional
numa corda de comprimento
, com extremidades presas, condição inicial de deslocamento em “chapéu”
e velocidade inicial nula
. Vamos usar separação de variáveis e série de senos para achar os coeficientes de Fourier do deslocamento.
Passo 2
A solução por separação de variáveis e expansão em série de senos é
As condições iniciais dão
Passo 3
Como
, segue que
para todo
. Os coeficientes
são
Passo 4
Como
é a função de chapéu,
fazemos a integral em dois pedaços. Usando simetria e mudança de variável, mostra-se que só aparecem termos ímpares
e que a integral vale, para
ímpar,
Para
par,
.
Passo 5
Como
quando
ímpar, podemos escrever
Então a solução fica
Passo 6
Os dois primeiros termos não nulos correspondem a
(i.e.
) e
(i.e.
). Substituindo,
portanto os dois primeiros termos são
Resposta
Os coeficientes de Fourier são
e os dois primeiros termos não nulos da série são