A questão é sobre como resolver a equação de onda unidimensional utt=c^2 ux x : Suponha que uma corda de guitarra comece com velocidade zero v0(x)=0 de uma função de chapéu: u0(x) =2 x / L para x e v0(x)=2(L-x) / L para x>L / 2. Encontre os coeficientes de Fourier bk e os dois primeiros termos diferentes de zero da série de Fourier para u(t, x).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda unidimensional utt=c^2uxx numa corda de comprimento L, com extremidades presas, condição inicial de deslocamento em “chapéu” u0(x) e velocidade inicial nula v0(x)=0. Vamos usar separação de variáveis e série de senos para achar os coeficientes de Fourier do deslocamento.

Passo 2

A solução por separação de variáveis e expansão em série de senos é
u(t,x)=sumk=1^inftyl(Bkcostfrackpi c tL+Dksintfrackpi c tLr),sintfrackpi xL
As condições iniciais dão
u(x,0)=u0(x)=sumk=1^infty Bksintfrackpi xL,
ut(x,0)=v0(x)=sumk=1^infty Dktfrackpi cLsintfrackpi xL

Passo 3

Como v0(x)=0, segue que Dk=0 para todo k. Os coeficientes Bk são
Bk=2Lintegral0^L u0(x)sinkpi xL,dx

Passo 4

Como u0(x) é a função de chapéu,
u0(x)=2x/L,&0<= x< L/2,2(L-x)/L,&L/2
fazemos a integral em dois pedaços. Usando simetria e mudança de variável, mostra-se que só aparecem termos ímpares k=1,3,5,dots e que a integral vale, para k ímpar,
Bk=8k^2pi^2,sinkpi2
Para k par, Bk=0.

Passo 5

Como sinkpi2=(-1)^(k-1)/2 quando k ímpar, podemos escrever
B2m-1=8(-1)^m-1(2m-1)^2pi^2, m=1,2,3,dots
Então a solução fica
u(t,x)=summ=1^infty8(-1)^m-1(2m-1)^2pi^2,sin(2m-1)pi xL,cos(2m-1)pi c tL

Passo 6

Os dois primeiros termos não nulos correspondem a m=1 (i.e. k=1) e m=2 (i.e. k=3). Substituindo,
B1=8pi^2, B3=-89pi^2,
portanto os dois primeiros termos são
8pi^2sinpi xLcospi c tL-89pi^2sin3pi xLcos3pi c tL

Resposta

Os coeficientes de Fourier são
Bk=dfrac8,sindfrackpi2k^2pi^2,&k ímpar,0,&k par, í
e os dois primeiros termos não nulos da série são
8pi^2sinpi xLcospi c tL;- 89pi^2sin3pi xLcos3pi c tL

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