Usando a Regra da Cadeia, resolva os seguintes problemas:
A altura de um cone é de 14 cm e aumenta na razão de 0,03 cm / s. O raio é de 8 cm e aumenta na razão de 0,04 cm/s. Determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo.

Passo 1

A questão propõe um cone cuja altura varia segundo ,(\dot h=0,03,\mathrm{cm/s}) e o raio varia segundo ,(\dot r=0,04,\mathrm{cm/s}). No instante considerado temos ,(h=14,\mathrm{cm}) e ,(r=8,\mathrm{cm}). O conteúdo é taxas relacionadas (regra da cadeia) e vamos precisar da fórmula do volume de um cone.

Passo 2

Começamos escrevendo o volume de um cone como
V=13pi r^2 h
e aplicamos a derivada em função do tempo, usando produto e regra da cadeia:
dot V=13pil(2r,dot r,h + r^2,dot hr)

Passo 3

Agora basta substituir os valores dados:
2r,dot r,h=2times8times0.04times14=8.96, r^2,dot h=8^2times0.03=1.92

Passo 4

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dot V=13pi(8.96+1.92)=10.88pi3approx11.39,cm^3/s

Resposta

A taxa de variação do volume é aproximadamente 11.39,cm^3/s.

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