Considere a função f: R^2 R definida por f(x, y)=x yx+y, se x+y neq 0, e f(x,-x)=x para x in R.
Calcule, caso exista, a derivada direcional f^prime((0,0) ;(1,1)).

Passo 1

Vamos recapitular o que a questão pede: temos uma função f de
R^2 em R definida por
f(x,y)= dfracxyx+y, & x+yneq0, x, & y=-x
Queremos a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção (1,1). Para isso, vamos usar a definição de derivada direcional como um limite.

Passo 2

Para calcular a derivada direcional na direção (1,1), parametrize um deslocamento por t>0:
$$(x,y)=(0,0)+t(1,1)=(t,t).
(x,y)=(0,0)+t(1,1)=(t,t) ãóf(t,t)=\frac{t\cdot t}{t+t}=\frac{t^2}{2t}=\frac{t}{2}.
$$

Passo 3

Agora aplicamos a definição de derivada direcional:
f'l((0,0);(1,1)r)=limtto0f(0+t,0+t)-f(0,0)t= limtto0t2-0t=limtto012=12

Resposta

12

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