Uma das conexões abordadas durante o capítulo foi a conexão entre espaços geradores e retas. Com base nisso, descreva um conjunto gerador para a reta r diagonal do plano euclidiano R^{2}.
Escolha uma opção:
a. \quad r=\operatorname{ger}\left\{\overrightarrow{v_{1}}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}
b. \quad r=\operatorname{ger}\left\{\overrightarrow{v_{1}}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}
c. r=\operatorname{ger}\left\{\overrightarrow{v_{1}}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ -2\end{array}\right]\right\}
d. \quad r=\operatorname{ger}\left\{\overrightarrow{v_{1}}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}
e. \quad r=\operatorname{ger}\left\{\overrightarrow{v_{1}}=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}
Passo 1
O enunciado nos pede um conjunto gerador para a reta r diagonal do plano euclidiano \mathbb{R}^2. O conteúdo aqui é que cada subespaço unidimensional (reta passando pela origem) é gerado por um único vetor não nulo.
Passo 2
Uma reta diagonal passando pela origem tem equação y = x. Isso significa que
r = \{(x,x) \mid x\in\mathbb{R}\} = \{t\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} \mid t\in\mathbb{R}\}.
Passo 3
Logo, qualquer vetor não nulo proporcional a \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} gera essa reta, isto é,
r = \operatorname{ger}\Bigl\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr\}.
Passo 4
Das opções dadas, o único vetor proporcional a \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} é
\begin{pmatrix}2 \\\\ 2\end{pmatrix},
pois \begin{pmatrix}2\\\ 2\end{pmatrix} = 2\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.