Se F é o espaço das matrizes 2 \times 2 de coeficientes reais e u pertence a F, assinale a afirmação correta sobre as leis de F em F.
Escolha uma opção:
a. Fixado v \in F, B(u)=u+v é uma transformação linear.
b. Fixado v \in F, C(u)=u \cdot v é uma transformação linear.
c. A(u)=u \cdot u^{T} é uma transformação linear.
d. D(u)=v^{-1} é uma transformação linear.
e. E(u)=u^{T} é uma transformação não linear.

Passo 1

Então, o exercício define F como o espaço vetorial das matrizes 2\times2 reais e apresenta cinco aplicações A,B,C,D,E\colon F\to F. Para decidir qual é linear, usamos que uma transformação L é linear se, para todo u_1,u_2\in F e todo escalar \alpha, valem
L(u_1+u_2)=L(u_1)+L(u_2),
L(\alpha u_1)=\alpha\,L(u_1).

Passo 2

Analisando B(u)=u+v com v fixo em F, temos
B(u_1+u_2) = u_1+u_2+v,
enquanto
B(u_1)+B(u_2)=(u_1+v)+(u_2+v)=u_1+u_2+2v.
Como essas duas expressões são diferentes em geral, B não é linear.

Passo 3

Para C(u)=u\cdot v (produto de matrizes à direita por v), verifica-se
C(u_1+u_2)=(u_1+u_2)\,v=u_1v+u_2v=C(u_1)+C(u_2),
C(\alpha u)=(\alpha u)\,v=\alpha\,(u\,v)=\alpha\,C(u).
Então C satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é linear.

Passo 4

As outras opções falham ou são falsas como enunciado:
  • A(u)=u\,u^T não distribui sobre soma,
  • D(u)=v^{-1} é constante e quebra homogeneidade,
  • E(u)=u^T de fato é linear, mas a opção alega que ela é não linear, o que está errado.

Resposta

b

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