Em \mathbf{R}^{5}, considere o conjunto de vetores C=\{(1,-3,0,4,1),(-3,-4,1,2,1),(4,1,-1,2,0),(0,5,1,0,2),(3,-1,2,0,4)\} e determine a dimensão e uma base para o gerado de C.
Escolha uma opção:
a. O conjunto \{(1,-3,0,4,1),(-3,-4,1,2,1)\} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 2 .
b. O conjunto \{(1,-3,0,4,1),(-3,-4,1,2,1),(0,5,1,0,2),(3,-1,2,0,4)\} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 4 .
c. C é linearmente independente e, portanto, uma base de um subespaço de dimensão 5 ; logo, o gerado de C é o próprio R^{5}.
d. O conjunto \{(1,-3,0,4,1),(0,5,1,0,2),(3,-1,2,0,4)\} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 3 .
e. O conjunto \{(1,-3,0,4,1)\} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 1 .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto \displaystyle C=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}\subset\mathbb{R}^5
com
Pede-se a dimensão de \mathrm{span}\,C e uma base. Vamos montar uma matriz cujas linhas são esses vetores e aplicar eliminação de Gauss para encontrar o posto.
Em seguida, elimine o elemento da coluna 3 em R_5 usando R_4. Após isso restam pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4, gerando quatro linhas não nulas. Logo o posto de A é 4.
Passo 5
O posto 4 indica que exatamente quatro vetores de C são linearmente independentes. Da eliminação vemos que v_3 ficou dependente de v_1,v_2 (pois v_3=v_1-v_2), e os outros quatro v_1,v_2,v_4,v_5 permanecem independentes. Esses quatro formam uma base de \mathrm{span}\,C e sua dimensão é 4."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=[
Resposta
(b) O conjunto \{(1,-3,0,4,1),(-3,-4,1,2,1),(0,5,1,0,2),(3,-1,2,0,4)\} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 4.