Em \mathbf{R}^{5}, considere o conjunto de vetores C=\{(1,-3,0,4,1),(-3,-4,1,2,1),(4,1,-1,2,0),(0,5,1,0,2),(3,-1,2,0,4)\} e determine a dimensão e uma base para o gerado de C.
Escolha uma opção:
a. O conjunto \{(1,-3,0,4,1),(-3,-4,1,2,1)\} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 2 .
b. O conjunto \{(1,-3,0,4,1),(-3,-4,1,2,1),(0,5,1,0,2),(3,-1,2,0,4)\} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 4 .
c. C é linearmente independente e, portanto, uma base de um subespaço de dimensão 5 ; logo, o gerado de C é o próprio R^{5}.
d. O conjunto \{(1,-3,0,4,1),(0,5,1,0,2),(3,-1,2,0,4)\} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 3 .
e. O conjunto \{(1,-3,0,4,1)\} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 1 .

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \displaystyle C=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}\subset\mathbb{R}^5
com
v_1=(1,-3,0,4,1),\; v_2=(-3,-4,1,2,1),\; v_3=(4,1,-1,2,0),\; v_4=(0,5,1,0,2),\; v_5=(3,-1,2,0,4).
Pede-se a dimensão de \mathrm{span}\,C e uma base. Vamos montar uma matriz cujas linhas são esses vetores e aplicar eliminação de Gauss para encontrar o posto.

Passo 2

Formamos a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 4 & 1\\\\ -3 & -4 & 1 & 2 & 1\\\\ 4 & 1 & -1 & 2 & 0\\\\ 0 & 5 & 1 & 0 & 2\\\\ 3 & -1 & 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Usamos R_2\leftarrow R_2+3R_1, R_3\leftarrow R_3-4R_1, R_5\leftarrow R_5-3R_1. Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 4 & 1\\\\ 0 & -13 & 1 & 14 & 4\\\\ 0 & 13 & -1 & -14 & -4\\\\ 0 & 5 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 8 & 2 & -12 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora eliminamos a coluna 2 em R_3,R_4,R_5. Fazemos
R_3\leftarrow R_3+R_2,\quad 13R_4+5R_2,\quad 13R_5+8R_2,
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 4 & 1\\\\ 0 & -13 & 1 & 14 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 18 & 70 & 46\\\\ 0 & 0 & 34 & -44 & 45 \end{pmatrix}.

Passo 4

Em seguida, elimine o elemento da coluna 3 em R_5 usando R_4. Após isso restam pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4, gerando quatro linhas não nulas. Logo o posto de A é 4.

Passo 5

O posto 4 indica que exatamente quatro vetores de C são linearmente independentes. Da eliminação vemos que v_3 ficou dependente de v_1,v_2 (pois v_3=v_1-v_2), e os outros quatro v_1,v_2,v_4,v_5 permanecem independentes. Esses quatro formam uma base de \mathrm{span}\,C e sua dimensão é 4."]))print( default_api.SolutionSteps( solution_steps=[

Resposta

(b) O conjunto \{(1,-3,0,4,1),(-3,-4,1,2,1),(0,5,1,0,2),(3,-1,2,0,4)\} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 4.

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