Instruções: Em respostas numéricas, digite um número em representação decimal, truncando se necessário na segunda casa após a vírgula.
Um plano de equação geral
a x+b y+c z+10=0
passa pelo ponto A=(8,3,6) e a direção do vetor \vec{n}=(2,-3,5) é perpendicular a esse plano.
Determine o valor do parâmetro c.

Passo 1

O enunciado dá o plano de equação geral
a x + b y + c z + 10 = 0
que passa pelo ponto A=(8,3,6) e diz que o vetor \vec{n}=(2,-3,5) é perpendicular a esse plano. Sabemos que a normal do plano é (a,b,c), portanto (a,b,c) deve ser paralelo a (2,-3,5).

Passo 2

Como (a,b,c) é paralelo a (2,-3,5), existe um escalar k tal que
(a,b,c) = k\,(2,-3,5).
Logo
a = 2k,\quad b = -3k,\quad c = 5k.

Passo 3

Como o ponto A=(8,3,6) pertence ao plano, substituímos na equação
a\cdot 8 + b\cdot 3 + c\cdot 6 + 10 = 0.
Substituindo a=2k, b=-3k, c=5k obtemos
8\,(2k) + 3\,(-3k) + 6\,(5k) + 10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 16k - 9k + 30k + 10 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 37k + 10 = 0.
De onde
k = -\frac{10}{37}.

Passo 4

Finalmente, como c = 5k, temos
c = 5\!\left(-\frac{10}{37}\right) = -\frac{50}{37}\approx -1,35135\ldots
Truncando na segunda casa decimal,
c = -1,35.

Resposta

-1,35

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