Um confeiteiro. preparando um certo tipo de massa precisa de água a
para obter melhor fermentação. Seu ajudante pegou água da torneira a
e colocou-a para aquecer num recipiente graduado de capacidade térmica desprezível. Quando percebeu, a água fervia e atingia o nível 8 do recipiente. Para obter a água na temperatura de que precisa, deve acrescentar, no recipiente, água da torneira até que nível?
Passo 1
O enunciado pede que se encontre até que nível do recipiente o ajudante deve acrescentar água da torneira (a
) sobre a água que está a ferver (
) e que ocupa o nível
do recipiente, de modo que, após a mistura, a temperatura final seja
.
Informações relevantes fornecidas:
- Temperatura desejada final:
. - Temperatura da água fria (torneira):
. - Temperatura da água quente (ferveu):
. - Nível ocupado pela água quente antes de acrescentar:
. - Capacidade térmica do recipiente desprezível (ou seja, o recipiente não troca calor nem armazena calor).
- O recipiente é graduado (nível é proporcional ao volume) e assumimos densidade da água constante, logo nível ∝ massa de água.
- Pergunta: até qual nível total
deve-se completar o recipiente com água fria para obter .
Passo 2
Conceito físico a usar (explicação didática): conservação de energia térmica na mistura.
Quando duas massas de água à diferentes temperaturas são misturadas num recipiente isolado (ou com capacidade térmica desprezível), a variação de energia térmica perdida por uma parte é igual à variação de energia térmica ganha pela outra parte. Em fórmulas: a soma dos calores trocados é zero.
O calor trocado por uma massa de água é dado por
onde:
-
é a massa da água (em kg ou em unidades proporcionais ao volume), -
é o calor específico da água (em J·kg{-1}·K{-1}), e -
é a variação de temperatura (em K ou °C).
Aqui não precisamos do valor numérico de
porque ele será o mesmo para ambas as porções e cancela-se na equação de balanço.
Passo 3
Modelagem do problema em termos de níveis (massa proporcional ao nível).
Como o recipiente é graduado e a densidade da água é constante, podemos usar o próprio nível como medida proporcional da massa. Chamemos:
- massa (proporcional ao nível) da água quente inicial:
, - massa (proporcional ao nível) da água fria adicionada:
, - temperatura da água quente:
, - temperatura da água fria:
, - temperatura final desejada:
.
Assim queremos encontrar
(nível total após adicionar).
Passo 4
Escrever o balanço de energia (calor perdido = calor ganho).
A água quente vai perder calor ao descer de
para
; a água fria vai ganhar calor ao subir de
para
. Usando
para o calor específico (que vai cancelar), o balanço é:
Agora substituímos
,
,
,
,
. Como
aparece em ambos os lados, podemos simplificar:
Passo 5
Resolver a equação passo a passo (álgebra).
Calcule as diferenças de temperatura:
Substituindo:
Calcule
:
Então:
Divida os dois lados por
:
Calcule
. Podemos simplificar:
. Logo:
Isolando
:
Passo 6
Interpretação e checagem rápida (intuição).
O resultado
significa que depois de acrescentar água fria o nível total deve ser
. Intuitivamente, a maior queda de temperatura necessária da água quente (
) em relação ao pequeno aquecimento da água fria (
) exige adicionar uma quantidade bastante maior de água fria; o cálculo mostrou que deve-se multiplicar a massa inicial por
(pois
), o que bate com a razão das variações de temperatura:
e com o balanço final obtido (detalhes já resolvidos algebraicamente).
Resposta
Nível