Um confeiteiro. preparando um certo tipo de massa precisa de água a 40^{\circ} \mathrm{C} para obter melhor fermentação. Seu ajudante pegou água da torneira a 25^{\circ} \mathrm{C} e colocou-a para aquecer num recipiente graduado de capacidade térmica desprezível. Quando percebeu, a água fervia e atingia o nível 8 do recipiente. Para obter a água na temperatura de que precisa, deve acrescentar, no recipiente, água da torneira até que nível?

Passo 1

O enunciado pede que se encontre até que nível do recipiente o ajudante deve acrescentar água da torneira (a 25^\circ\mathrm{C}) sobre a água que está a ferver ( 100^\circ\mathrm{C}) e que ocupa o nível 8 do recipiente, de modo que, após a mistura, a temperatura final seja 40^\circ\mathrm{C}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Temperatura desejada final: 40^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da água fria (torneira): 25^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da água quente (ferveu): 100^\circ\mathrm{C}.
  • Nível ocupado pela água quente antes de acrescentar: 8.
  • Capacidade térmica do recipiente desprezível (ou seja, o recipiente não troca calor nem armazena calor).
  • O recipiente é graduado (nível é proporcional ao volume) e assumimos densidade da água constante, logo nível ∝ massa de água.
  • Pergunta: até qual nível total x deve-se completar o recipiente com água fria para obter 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito físico a usar (explicação didática): conservação de energia térmica na mistura.
Quando duas massas de água à diferentes temperaturas são misturadas num recipiente isolado (ou com capacidade térmica desprezível), a variação de energia térmica perdida por uma parte é igual à variação de energia térmica ganha pela outra parte. Em fórmulas: a soma dos calores trocados é zero.
O calor trocado por uma massa de água é dado por
Q = m c \Delta T,
onde:
  • m é a massa da água (em kg ou em unidades proporcionais ao volume),
  • c é o calor específico da água (em J·kg{-1}·K{-1}), e
  • \Delta T é a variação de temperatura (em K ou °C).
Aqui não precisamos do valor numérico de c porque ele será o mesmo para ambas as porções e cancela-se na equação de balanço.

Passo 3

Modelagem do problema em termos de níveis (massa proporcional ao nível).
Como o recipiente é graduado e a densidade da água é constante, podemos usar o próprio nível como medida proporcional da massa. Chamemos:
  • massa (proporcional ao nível) da água quente inicial: m_h = 8,
  • massa (proporcional ao nível) da água fria adicionada: m_f = x-8,
  • temperatura da água quente: T_h = 100^\circ\mathrm{C},
  • temperatura da água fria: T_f = 25^\circ\mathrm{C},
  • temperatura final desejada: T = 40^\circ\mathrm{C}.
Assim queremos encontrar x (nível total após adicionar).

Passo 4

Escrever o balanço de energia (calor perdido = calor ganho).
A água quente vai perder calor ao descer de 100^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C}; a água fria vai ganhar calor ao subir de 25^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C}. Usando c para o calor específico (que vai cancelar), o balanço é:
m_h c (T_h - T) = m_f c (T - T_f).
Agora substituímos m_h = 8, m_f = x-8, T_h = 100, T = 40, T_f = 25. Como c aparece em ambos os lados, podemos simplificar:
8\,(100-40) = (x-8)\,(40-25).

Passo 5

Resolver a equação passo a passo (álgebra).
Calcule as diferenças de temperatura:
100-40 = 60,
40-25 = 15.
Substituindo:
8\cdot 60 = (x-8)\cdot 15.
Calcule 8\cdot 60:
8\cdot 60 = 480.
Então:
480 = 15(x-8).
Divida os dois lados por 15:
\frac{480}{15} = x-8.
Calcule \frac{480}{15}. Podemos simplificar: 15\cdot 32 = 480. Logo:
32 = x-8.
Isolando x:
x = 32+8 = 40.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (intuição).
O resultado x=40 significa que depois de acrescentar água fria o nível total deve ser 40. Intuitivamente, a maior queda de temperatura necessária da água quente ( 60^\circ) em relação ao pequeno aquecimento da água fria ( 15^\circ) exige adicionar uma quantidade bastante maior de água fria; o cálculo mostrou que deve-se multiplicar a massa inicial por 5 (pois 40/8 = 5), o que bate com a razão das variações de temperatura: 60/15 = 4 e com o balanço final obtido (detalhes já resolvidos algebraicamente).

Resposta

Nível 40

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