Um pedaço de chumbo com massa de 600 g é aquecido a 100^{\circ} \mathrm{C} e colocado num recipiente de alumínio de 200 g contendo 500 g de água, ambos a 17,3^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo-se que a temperatura final de equilíbrio é 20^{\circ} \mathrm{C}, determinar o calor específico do chumbo. Dados: c_{A l}= 0,9 \cdot 10^{3} \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{kgK}} e c_{H 2 O}=4,18 \cdot 10^{3} \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{kgK}}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o calor específico do chumbo:
\begin{aligned} &\text{Massa do chumbo: } m_{Pb}=600\\ \text{g} \\\ &\text{Massa do alumínio (recipiente): } m_{Al}=200\\ \text{g} \\\ &\text{Massa da água: } m_{H_{2}O}=500\\ \text{g} \\\ &\text{Temperatura inicial do chumbo: } T_{Pb,i}=100^\circ\text{C} \\\ &\text{Temperatura inicial do alumínio e da água: } T_{Al,i}=T_{H_{2}O,i}=17{,}3^\circ\text{C} \\\ &\text{Temperatura final de equilíbrio: } T_{f}=20^\circ\text{C} \\\ &\text{Calor específico do alumínio: } c_{Al}=0{,}9\cdot10^{3}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg\,K}} \\\ &\text{Calor específico da água: } c_{H_{2}O}=4{,}18\cdot10^{3}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg\,K}} \\\ &\text{Calor específico do chumbo (desconhecido): } c_{Pb} = \,? \end{aligned}íáíáííííáí

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): o calor perdido por um corpo quente ao esfriar é igual ao calor ganho pelos corpos mais frios até atingirem a mesma temperatura final (conservação da energia térmica, desprezando perdas para o ambiente). Matematicamente usamos a expressão do calor trocado:
Q = m\,c\,\Delta T
onde:
  • Q é a quantidade de calor (em \mathrm{J}),
  • m é a massa (em \mathrm{kg}),
  • c é o calor específico (em \mathrm{J/(kg\,K)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em \mathrm{K} ou {}^\circ\mathrm{C}, porque diferenças de temperatura em K e °C têm o mesmo valor).
Aqui a soma algébrica dos Q de todos os corpos deve ser zero:
Q_{Pb} + Q_{Al} + Q_{H_{2}O} = 0.
Explicando sinais: se um corpo perde calor, seu \Delta T é negativo e Q fica negativo; se ganha calor, \Delta T e Q são positivos.

Passo 3

Primeiro converto as massas de gramas para quilogramas, porque as unidades de c estão em \mathrm{J/(kg\,K)}:
\begin{aligned} m_{Pb} &= 600\\ \text{g} = 0{,}600\\ \text{kg} = 0{,}6\\ \text{kg},\\\ m_{Al} &= 200\\ \text{g} = 0{,}200\\ \text{kg} = 0{,}2\\ \text{kg},\\\ m_{H_{2}O} &= 500\\ \text{g} = 0{,}500\\ \text{kg} = 0{,}5\\ \text{kg}. \end{aligned}
Lembrete didático: para converter gramas em quilogramas divide-se por 1000, por isso 600\\ \text{g}=600/1000=0{,}6\\ \text{kg}.

Passo 4

Escrevo a equação de balanço de energia com \Delta T = T_{f}-T_{i}:
m_{Pb}\,c_{Pb}(T_{f}-T_{Pb,i}) + m_{Al}\,c_{Al}(T_{f}-T_{Al,i}) + m_{H_{2}O}\,c_{H_{2}O}(T_{f}-T_{H_{2}O,i}) = 0.
Isolando c_{Pb}:
c_{Pb} = -\,\frac{m_{Al}\,c_{Al}(T_{f}-T_{Al,i}) + m_{H_{2}O}\,c_{H_{2}O}(T_{f}-T_{H_{2}O,i})}{m_{Pb}(T_{f}-T_{Pb,i})}.
Expliquei: o sinal negativo aparece porque o denominador (variação do chumbo) será negativo (o chumbo esfriou), enquanto o numerador é positivo (alumínio e água aqueceram).

Passo 5

Calculo as variações de temperatura (diferenças):
\begin{aligned} T_{f}-T_{Al,i} &= 20^\circ\text{C} - 17{,}3^\circ\text{C} = 2{,}7\\ \text{K},\\\ T_{f}-T_{H_{2}O,i} &= 20^\circ\text{C} - 17{,}3^\circ\text{C} = 2{,}7\\ \text{K},\\\ T_{f}-T_{Pb,i} &= 20^\circ\text{C} - 100^\circ\text{C} = -80\\ \text{K}. \end{aligned}
Observação didática: podemos usar °C nas diferenças porque uma variação de 1^\circ\mathrm{C} equivale a 1\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Substituo todos os números na fórmula de c_{Pb} e calculo passo a passo.
Primeiro o numerador (calores ganhos por alumínio e água):
\begin{aligned} m_{Al}\,c_{Al}(T_{f}-T_{Al,i}) &= 0{,}2\cdot 0{,}9\cdot10^{3}\cdot 2{,}7 \\\ &= 0{,}2\cdot 900\cdot 2{,}7 \\\ &= 180\cdot 2{,}7 = 486\\ \mathrm{J}, \end{aligned}
\begin{aligned} m_{H_{2}O}\,c_{H_{2}O}(T_{f}-T_{H_{2}O,i}) &= 0{,}5\cdot 4{,}18\cdot10^{3}\cdot 2{,}7 \\\ &= 0{,}5\cdot 4180\cdot 2{,}7 \\\ &= 2090\cdot 2{,}7 = 5643\\ \mathrm{J}. \end{aligned}
Somando:
\text{numerador} = 486 + 5643 = 6129\\ \mathrm{J}.
Agora o denominador:
m_{Pb}(T_{f}-T_{Pb,i}) = 0{,}6\cdot(-80) = -48\\ \text{kg}\cdot\text{K}.
Portanto
c_{Pb} = -\,\frac{6129}{-48} = \frac{6129}{48}.
Faço a divisão:
\frac{6129}{48} \approx 127{,}6875\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg\,K}}.
Arredondando com dois ou três algarismos significativos, c_{Pb}\approx 127{,}7\\ \mathrm{J/(kg\,K)}, que é compatível com o valor tabulado ( \sim 128\\ \mathrm{J/(kg\,K)}).

Passo 7

Verificação rápida e interpretação: o valor é positivo (bom), tem unidade correta \mathrm{J/(kg\,K)} e o tamanho está na ordem esperada para metais pesados como o chumbo. Isso confirma que o cálculo está coerente.

Resposta

\;c_{Pb}=127{,}7\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg\,K}}

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