Conferindo as carteiras de vacinação de 84 crianças de uma creche, verificou-se que somente 68 receberam a vacina Sabin, somente 50 receberam a vacina Tríplice e 12 não foram vacinadas. Quantas crianças dessa creche receberam as duas vacinas?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
  • Total de crianças na creche: 84.
  • Número de crianças que receberam a vacina Sabin: 68.
  • Número de crianças que receberam a vacina Tríplice: 50.
  • Número de crianças que não foram vacinadas: 12.
A pergunta do enunciado é: quantas crianças receberam as duas vacinas (isto é, quantas receberam Sabin e Tríplice simultaneamente)?

Passo 2

Vamos definir variáveis para organizar as contagens (isso ajuda a pensar direito):
  • Seja |S| o número de crianças que receberam Sabin.
  • Seja |T| o número de crianças que receberam Tríplice.
  • Seja |S\cap T| o número de crianças que receberam as duas vacinas.
  • Seja |N| o número de crianças que não foram vacinadas.
  • Seja N_{\text{total}} o número total de crianças.
Pelo enunciado temos:
|S|=68,\qquad |T|=50,\qquad |N|=12,\qquad N_{\text{total}}=84.

Passo 3

Agora uma ideia importante (explicada passo a passo): se somo |S| com |T| estamos contando duas vezes as crianças que receberam ambas as vacinas, porque elas aparecem em |S| e em |T|. A fórmula que corrige isso é a forma simples do princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos:
|S\cup T| = |S| + |T| - |S\cap T|.
Aqui |S\cup T| é o número de crianças que receberam pelo menos uma das vacinas (Sabin ou Tríplice).
Também é fácil obter |S\cup T| a partir do total e dos não vacinados: as crianças que receberam pelo menos uma vacina são o total menos as que não foram vacinadas. Logo:
|S\cup T| = N_{\text{total}} - |N|.

Passo 4

Calculemos |S\cup T| usando os números dados:
|S\cup T| = 84 - 12 = 72.
Agora use a fórmula da inclusão-exclusão e resolva para |S\cap T|:
|S\cap T| = |S| + |T| - |S\cup T|.
Substituindo os valores:
|S\cap T| = 68 + 50 - 72.
Faço as contas passo a passo:
68 + 50 = 118,
118 - 72 = 46.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: 46 crianças receberam ambas as vacinas. Verificando: 46 é menor do que 50 e menor do que 68, então não há contradição básica; e somando as partes exclusivas mais as duas e os não vacinados temos (68-46) + (50-46) + 46 + 12 = 22 + 4 + 46 + 12 = 84, que é o total — tudo confere.

Resposta

46

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