Conferindo as carteiras de vacinação de 84 crianças de uma creche, verificou-se que somente 68 receberam a vacina Sabin, somente 50 receberam a vacina Tríplice e 12 não foram vacinadas. Quantas crianças dessa creche receberam as duas vacinas?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei estes números do enunciado):
- Total de crianças na creche:
. - Número de crianças que receberam a vacina Sabin:
. - Número de crianças que receberam a vacina Tríplice:
. - Número de crianças que não foram vacinadas:
.
A pergunta do enunciado é: quantas crianças receberam as duas vacinas (isto é, quantas receberam Sabin e Tríplice simultaneamente)?
Passo 2
Vamos definir variáveis para organizar as contagens (isso ajuda a pensar direito):
- Seja
o número de crianças que receberam Sabin. - Seja
o número de crianças que receberam Tríplice. - Seja
o número de crianças que receberam as duas vacinas. - Seja
o número de crianças que não foram vacinadas. - Seja
o número total de crianças.
Pelo enunciado temos:
Passo 3
Agora uma ideia importante (explicada passo a passo): se somo
com
estamos contando duas vezes as crianças que receberam ambas as vacinas, porque elas aparecem em
e em
. A fórmula que corrige isso é a forma simples do princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos:
Aqui
é o número de crianças que receberam pelo menos uma das vacinas (Sabin ou Tríplice).
Também é fácil obter
a partir do total e dos não vacinados: as crianças que receberam pelo menos uma vacina são o total menos as que não foram vacinadas. Logo:
Passo 4
Calculemos
usando os números dados:
Agora use a fórmula da inclusão-exclusão e resolva para
:
Substituindo os valores:
Faço as contas passo a passo:
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida:
crianças receberam ambas as vacinas. Verificando:
é menor do que
e menor do que
, então não há contradição básica; e somando as partes exclusivas mais as duas e os não vacinados temos
, que é o total — tudo confere.
Resposta
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