Considere os conjuntos:
\begin{aligned} & E=\{1,2,3,4,5, \ldots, 1328\} \text { e } \\\ & E^{\prime}=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,1,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,3,42, \ldots\} \end{aligned}
Pode-se afirmar que \mathrm{E}=\mathrm{E}^{\prime} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos:
E=\{1,2,3,4,5,\ldots,1328\}
e uma lista E' cuja escrita começa
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,1,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,3,42,\ldots
A pergunta é: pode‑se afirmar que E=E'? Ou seja, os dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos? Vamos trabalhar com essa pergunta.

Passo 2

Lembrete importante (definição usada como ferramenta): dois conjuntos são iguais quando cada elemento de um está no outro e vice‑versa. Em linguagem matemática, E=E' se, e somente se,
E\subseteq E'\quad\text{e}\quad E'\subseteq E.
Vou provar as duas inclusões.

Passo 3

Provar E'\subseteq E. Olhando para a descrição de E' vemos explicitamente que todos os números escritos são números inteiros entre 1 e 1328: aparecem os pares 2,4,6,\ldots,1328 e aparecem também os ímpares 1,3,5,\ldots,1327 (o padrão mostrado na sequência insere de forma crescente os ímpares 1,3,\ldots). Portanto cada elemento listado em E' é um inteiro no intervalo [1,1328], logo pertence a E. Assim E'\subseteq E.
(Explicação didática curta: a notação com reticências indica continuação do mesmo padrão mostrado; vemos claramente os pares em ordem crescente e alguns ímpares em ordem crescente — o padrão é listar todos os pares 2,4,\dots,1328 e, intercaladamente, todos os ímpares 1,3,\dots,1327.)

Passo 4

Provar E\subseteq E'. Tome um elemento arbitrário x\in E. Então x é um inteiro com 1\le x\le 1328. Dois casos:
  • Se x é par, então x é um dos números 2,4,6,\ldots,1328. A sequência que define E' contém explicitamente todos esses pares em ordem crescente, logo x\in E'.
  • Se x é ímpar, então x é um dos números 1,3,5,\ldots,1327. A sequência que define E' também contém esses ímpares (mostra‑se 1,3,\ldots intercalados), portanto x\in E'.
Como x foi escolhido arbitrariamente em E, isto prova E\subseteq E'.

Passo 5

Concluindo: mostrei E'\subseteq E e E\subseteq E'. Pela definição de igualdade de conjuntos, segue que
E=E'.

Resposta

\mathrm{E}=\mathrm{E}'

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