Considere os conjuntos:
Pode-se afirmar que
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos:
e uma lista
cuja escrita começa
A pergunta é: pode‑se afirmar que
? Ou seja, os dois conjuntos têm exatamente os mesmos elementos? Vamos trabalhar com essa pergunta.
Passo 2
Lembrete importante (definição usada como ferramenta): dois conjuntos são iguais quando cada elemento de um está no outro e vice‑versa. Em linguagem matemática,
se, e somente se,
Vou provar as duas inclusões.
Passo 3
Provar
. Olhando para a descrição de
vemos explicitamente que todos os números escritos são números inteiros entre
e
: aparecem os pares
e aparecem também os ímpares
(o padrão mostrado na sequência insere de forma crescente os ímpares
). Portanto cada elemento listado em
é um inteiro no intervalo
, logo pertence a
. Assim
.
(Explicação didática curta: a notação com reticências indica continuação do mesmo padrão mostrado; vemos claramente os pares em ordem crescente e alguns ímpares em ordem crescente — o padrão é listar todos os pares
e, intercaladamente, todos os ímpares
.)
Passo 4
Provar
. Tome um elemento arbitrário
. Então
é um inteiro com
. Dois casos:
-
Se
é par, então é um dos números . A sequência que define contém explicitamente todos esses pares em ordem crescente, logo . -
Se
é ímpar, então é um dos números . A sequência que define também contém esses ímpares (mostra‑se intercalados), portanto .
Como
foi escolhido arbitrariamente em
, isto prova
.
Passo 5
Concluindo: mostrei
e
. Pela definição de igualdade de conjuntos, segue que