A confidence interval estimate is desired for the gain in a circuit on a semiconductor device. Assume that gain is normally distributed with standard deviation
.
Find a
for m when
and
.
Find a
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é fornecido:
- Pedido: encontrar um intervalo de confiança de
para a média do ganho do circuito. - Informações fornecidas:
(tamanho da amostra),
(média amostral),
(o enunciado diz que o desvio padrão do ganho é ; aqui vamos tratá-lo como o desvio padrão populacional ),
nível de confiança(logo ). - Então precisamos devolver o intervalo de confiança de
para com esses dados.
Passo 2
Qual fórmula usar e por que (explicação didática):
- Quando a população é normalmente distribuída e o desvio padrão populacional
é conhecido, o intervalo de confiança para a média usa a distribuição normal padrão (z). - A fórmula geral do intervalo de confiança de
é
onde:
-
é a média amostral (aqui ), -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à esquerda é (é o valor crítico z), -
é o desvio padrão populacional (aqui ), -
é o tamanho da amostra (aqui ), -
é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade da média amostral). - Intuição simples: a média amostral costuma cair dentro de aproximadamente alguns erros-padrão da média verdadeira; multiplicamos o erro-padrão pelo
apropriado para cobrir das possíveis amostras.
Passo 3
Encontrar o valor crítico
:
- Para nível de confiança
temos e . - O quantil da normal padrão com área
à esquerda é aproximadamente . - Portanto usaremos
.
Passo 4
Calcular o erro-padrão da média:
- Erro-padrão =
. - Como
, temos
- Interpretação: a média amostral típica varia cerca de
unidades em torno da verdadeira média devido ao acaso da amostra.
Passo 5
Calcular a margem de erro:
- Margem de erro =
erro-padrão . - Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Construir o intervalo de confiança:
- Limite inferior =
margem - Limite superior =
margem - Portanto o intervalo de confiança de
para é . - Interpretação curta e motivadora: isso significa que, com confiança de
, o verdadeiro valor médio do ganho está entre e . Relaxa — o intervalo é bem estreito porque a amostra tem tamanho razoável e não é tão grande.