A confidence interval estimate is desired for the gain in a circuit on a semiconductor device. Assume that gain is normally distributed with standard deviation \mathrm{s}=20.
Find a 95 \% \mathrm{CI} for m when n=25 and \bar{x}=1000.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é fornecido:
  • Pedido: encontrar um intervalo de confiança de 95\% para a média \mu do ganho do circuito.
  • Informações fornecidas:
    \displaystyle n=25 (tamanho da amostra),
    \displaystyle \bar{x}=1000 (média amostral),
    \displaystyle s=20 (o enunciado diz que o desvio padrão do ganho é 20; aqui vamos tratá-lo como o desvio padrão populacional \sigma),
    nível de confiança 95\% (logo \alpha=0,05).
  • Então precisamos devolver o intervalo de confiança de 95\% para \mu com esses dados.

Passo 2

Qual fórmula usar e por que (explicação didática):
  • Quando a população é normalmente distribuída e o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para a média usa a distribuição normal padrão (z).
  • A fórmula geral do intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% é
\bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=1000),
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à esquerda é 1-\alpha/2 (é o valor crítico z),
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=20),
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25),
  • \frac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quantifica a variabilidade da média amostral).
  • Intuição simples: a média amostral costuma cair dentro de aproximadamente alguns erros-padrão da média verdadeira; multiplicamos o erro-padrão pelo z apropriado para cobrir 95\% das possíveis amostras.

Passo 3

Encontrar o valor crítico z_{1-\alpha/2}:
  • Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e 1-\alpha/2=0,975.
  • O quantil da normal padrão com área 0,975 à esquerda é aproximadamente z_{0,975}=1,96.
  • Portanto usaremos z_{1-\alpha/2}=1,96.

Passo 4

Calcular o erro-padrão da média:
  • Erro-padrão = \displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{25}}.
  • Como \sqrt{25}=5, temos
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{20}{5}=4.
  • Interpretação: a média amostral típica varia cerca de 4 unidades em torno da verdadeira média devido ao acaso da amostra.

Passo 5

Calcular a margem de erro:
  • Margem de erro = z_{1-\alpha/2}\times erro-padrão =1,96\times 4.
  • Fazendo a multiplicação:
1,96\times 4 = 7,84.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança:
  • Limite inferior = \bar{x} - margem =1000-7,84=992,16.
  • Limite superior = \bar{x} + margem =1000+7,84=1007,84.
  • Portanto o intervalo de confiança de 95\% para \mu é [992,16,\;1007,84].
  • Interpretação curta e motivadora: isso significa que, com confiança de 95\%, o verdadeiro valor médio do ganho está entre 992,16 e 1007,84. Relaxa — o intervalo é bem estreito porque a amostra tem tamanho razoável e \sigma não é tão grande.

Resposta

[992,16,\;1007,84]

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