A confidence interval estimate is desired for the gain in a circuit on a semiconductor device. Assume that gain is normally distributed with standard deviation \mathrm{s}=20.
Find a 99 \% CI for m when n=10 and \bar{x}=1000.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que segue.
  • Dados: n=10, \bar{x}=1000, e desvio padrão informado como s=20.
  • Nível de confiança desejado: 99\%.
  • Pergunta: encontrar um intervalo de confiança de 99\% para \mu (a média do ganho).

Passo 2

Escolha do método (explicação e motivo)
  • O enunciado diz que a variável é normalmente distribuída e dá o desvio padrão como s=20. Vou interpretar isso como o desvio padrão populacional conhecido; então uso \sigma=20. Quando a distribuição é normal e a \sigma populacional é conhecida, a estatística amostral \bar{X} tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}. Nesse caso o intervalo de confiança para \mu é construído com a distribuição normal padrão (z).
  • Fórmula do intervalo de confiança (CI) neste caso:
\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
onde:
  • \bar{x} = média amostral (dado),
  • \sigma = desvio padrão populacional (aqui 20),
  • n = tamanho da amostra (aqui 10),
  • \alpha=1- nível de confiança (aqui \alpha=1-0{,}99=0{,}01),
  • z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2. Para CI de 99\% temos \alpha/2=0{,}005 e z_{0{,}005} é o valor tal que P(Z>z_{0{,}005})=0{,}005.

Passo 3

Encontrar z_{\alpha/2} para 99\%
  • Como \alpha/2=0{,}005, o valor tabelado (ou calculadora) é
z_{0{,}005}\approx 2{,}5758.
(Em provas sem tabela muitos professores aceitam 2{,}576 como aproximação.)

Passo 4

Calcular o erro padrão \mathrm{SE}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
  • Primeiro calcule \sqrt{n}=\sqrt{10}\approx 3{,}1623.
  • Então
\mathrm{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{20}{\sqrt{10}}\approx 6{,}3246.
Expliquei: a \mathrm{SE} é o desvio padrão da média amostral; quanto maior n, menor a \mathrm{SE}.

Passo 5

Calcular a margem de erro E=z_{\alpha/2}\cdot \mathrm{SE}
  • Substituindo os valores:
E \approx 2{,}5758\cdot 6{,}3246 \approx 16{,}29097.
  • Interpretação: com 99% de confiança, a média verdadeira \mu está dentro de \bar{x}\pm E.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança e arredondar
  • Limite inferior:
\bar{x}-E = 1000 - 16{,}29097 \approx 983{,}70903.
  • Limite superior:
\bar{x}+E = 1000 + 16{,}29097 \approx 1016{,}29097.
  • Arredondando para duas casas decimais (uso vírgula como separador decimal): (983{,}71,\;1016{,}29).

Passo 7

Dica rápida para a prova (como fazer rápido e seguro)
  • Lembre-se: se \sigma for conhecida e a população for (aprox.) normal, use z; se \sigma for desconhecida e n pequeno, use t. Para 99\%, decore ou tenha tabela do z_{0{,}005}\approx 2{,}576. Calcule \mathrm{SE}=\sigma/\sqrt{n}, multiplica por z e soma/subtrai de \bar{x}. Pronto — esse é o passo-a-passo padrão e rápido na prova.

Resposta

\bigl(983{,}71,\;1016{,}29\bigr)

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